Usando substituição, calcule a integral:
integral cos (4 x)(1+2 sen(4 x))^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral cos (4 x)(1+2 sin(4x))^4 , dx usando substituição. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre técnica de substituição em integrais, que ajuda a simplificar expressões complicadas transformando uma parte da integral em uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável u. Olhando para o denominador 1 + 2 sin(4x), parece uma boa escolha para a substituição.
Vamos definir:
u = 1 + 2 sin(4x)

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 2 cos(4x) cdot 4 = 8 cos(4x)
Isso significa que:
du = 8 cos(4x) , dx
Ou seja:
cos(4x) , dx = du8

Passo 4

Vamos substituir u e du na integral original:
integral cos(4x)(1 + 2 sin(4x))^4 , dx = integral du8u^4 = 18 integral u^-4 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^-4:
integral u^-4 , du = u^-3-3 + C = -13u^3 + C
Então, multiplicando por 18:
18 integral u^-4 , du = -124 u^3 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original x substituindo u de volta:
u = 1 + 2 sin(4x)
Portanto, a solução da integral fica:
-124 (1 + 2 sin(4x))^3 + C

Resposta

A integral vale -dfrac124, (1 + 2, sin(4x))^3 + C.

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