Resolva os problemas de valor inicial
ly^prime+3 t^2 y=e^-t^3+t y(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de primeira ordem:
l y^prime + 3 t^2 y = e^-t^3+t y(0) = 2
O objetivo aqui é encontrar a função y(t) que resolve essa equação e passa pelo ponto y(0) = 2 . Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bem útil para resolver equações diferenciais lineares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y' + P(t) y = Q(t)
No nosso caso, temos:
P(t) = 3 t^2 e Q(t) = e^-t^3 + t
O método do fator integrante nos ajuda a resolver essa equação multiplicando ambos os lados por um fator que vai simplificar a equação.

Passo 3

Vamos calcular o fator integrante mu(t) . Ele é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 3 t^2 dt
Vamos resolver a integral:
integral 3 t^2 dt = t^3 + C
Como a constante C não afeta o fator integrante, podemos ignorá-la. Então:
mu(t) = e^t^3

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t) :
e^t^3 y' + 3 t^2 e^t^3 y = e^t^3 e^-t^3 + t
O lado esquerdo da equação agora vira a derivada do produto mu(t) y :
ddt (e^t^3 y) = e^t
Isso simplifica bastante as coisas!

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a t :
integral ddt (e^t^3 y) dt = integral e^t dt
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^t^3 y , e a do lado direito é e^t + C , onde C é a constante de integração. Então:
e^t^3 y = e^t + C

Passo 6

Agora, vamos isolar y :
y = e^-t^3 (e^t + C) = e^t - t^3 + C e^-t^3
Então, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = e^t - t^3 + C e^-t^3

Passo 7

Por último, aplicamos a condição inicial y(0) = 2 para encontrar o valor de C :
2 = e^0 - 0 + C e^-0 Rightarrow 2 = 1 + C Rightarrow C = 1

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^t - t^3 + e^-t^3

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