Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem, que é tipo uma equação que relaciona uma função y e sua derivada y' . Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
y' + x^4 y = x^4 e^45^55
E a condição inicial é y(0) = 1 . Nosso objetivo é encontrar a função y que satisfaz essa equação e essa condição.
Passo 3
Agora, vamos identificar os termos da equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y' + P(x) y = Q(x)
Aqui, P(x) = x^4 e Q(x) = x^4 e^45^55 .
Passo 4
Vamos calcular o fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral x^4 dx
Integrando x^4 , temos:
integral x^4 dx = x^55
Então,
mu(x) = e^x^55
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) :
e^x^55 y' + e^x^55 x^4 y = e^x^55 x^4 e^45^55
A esquerda da equação agora fica a derivada do produto mu(x) y :
ddx ( e^x^55 y ) = e^x^55 x^4 e^45^55
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral ddx ( e^x^55 y ) dx = integral e^x^55 x^4 e^45^55 dx
A integral da esquerda é simplesmente e^x^55 y .
Para a integral da direita, notamos que x^4 é a derivada de x^55 , então podemos simplificar:
integral e^x^55 x^4 e^45^55 dx = e^45^55 integral x^4 e^x^55 dx = e^45^55 e^x^55 + C
Então:
e^x^55 y = e^45^55 e^x^55 + C
Passo 7
Agora, isolamos y :
y = e^45^55 + C e^-x^55
Usamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar C :