Resolva os problemas de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
Aqui, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais, especificamente sobre equações homogêneas e métodos de substituição para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial para facilitar a resolução. Vamos isolar
dydx :
Isso nos dá uma equação que relaciona
y ,
x e
dydx .
Passo 3
Agora, vamos tentar simplificar essa fração. Observando os termos, podemos separar a expressão:
Isso nos leva a uma forma que pode ser mais fácil de trabalhar.
Passo 4
Perceba que a equação ainda está complicada. Vamos tentar fazer uma substituição para torná-la mais simples. Vamos definir:
Isso significa que
y = z x . Agora, vamos derivar
y em relação a
x :
Passo 5
Substituindo
y = z x e
dydx na equação original, temos:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 6
Simplificando os termos:
Agora, podemos dividir ambos os lados por
x^3 (assumindo que
x neq 0 ):
Passo 7
Expandindo o lado esquerdo:
Subtraindo
z^3 de ambos os lados:
Agora, temos uma equação mais simples para resolver.
Passo 8
Vamos separar as variáveis para integrar. Dividindo ambos os lados por
z^2 :
Agora, separamos
z e
x :
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Onde
C é a constante de integração.
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Onde
C' = 3C .
Lembrando que
z = yx , substituímos de volta:
Passo 11
Multiplicando ambos os lados por
x^3 :
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar
C' .
Passo 12
Aplicando
y(1) = 3 :
Sabemos que
ln 1 = 0 , então:
Portanto,
C' = 27 .
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: