Resolva os problemas de valor inicial
lx y^2 d yd x=y^3-x^3 y(1)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
x y^2 dydx = y^3 - x^3 y(1) = 3
Aqui, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais, especificamente sobre equações homogêneas e métodos de substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial para facilitar a resolução. Vamos isolar dydx:
dydx = y^3 - x^3x y^2
Isso nos dá uma equação que relaciona y, x e dydx.

Passo 3

Agora, vamos tentar simplificar essa fração. Observando os termos, podemos separar a expressão:
dydx = y^3x y^2 - x^3x y^2 = yx - x^2y^2
Isso nos leva a uma forma que pode ser mais fácil de trabalhar.

Passo 4

Perceba que a equação ainda está complicada. Vamos tentar fazer uma substituição para torná-la mais simples. Vamos definir:
z = yx
Isso significa que y = z x. Agora, vamos derivar y em relação a x:
dydx = z + x dzdx

Passo 5

Substituindo y = z x e dydx na equação original, temos:
x (z x)^2 (z + x dzdx) = (z x)^3 - x^3
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 6

Simplificando os termos:
x z^2 x^2 (z + x dzdx) = z^3 x^3 - x^3
x^3 z^2 (z + x dzdx) = x^3 (z^3 - 1)
Agora, podemos dividir ambos os lados por x^3 (assumindo que x neq 0):
z^2 (z + x dzdx) = z^3 - 1

Passo 7

Expandindo o lado esquerdo:
z^3 + z^2 x dzdx = z^3 - 1
Subtraindo z^3 de ambos os lados:
z^2 x dzdx = -1
Agora, temos uma equação mais simples para resolver.

Passo 8

Vamos separar as variáveis para integrar. Dividindo ambos os lados por z^2:
x dzdx = -1z^2
dzdx = -1x z^2
Agora, separamos z e x:
z^2 dz = -1x dx

Passo 9

Integrando ambos os lados:
integral z^2 dz = -integral 1x dx
z^33 = -ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
z^3 = -3 ln|x| + C'
Onde C' = 3C.
Lembrando que z = yx, substituímos de volta:
(yx)^3 = -3 ln|x| + C'

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por x^3:
y^3 = x^3 (-3 ln|x| + C')
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar C'.

Passo 12

Aplicando y(1) = 3:
3^3 = 1^3 (-3 ln 1 + C')
Sabemos que ln 1 = 0, então:
27 = 0 + C'
Portanto, C' = 27.

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y^3 = x^3 ( -3 ln x + 27 )

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