Resolva os problemas de valor inicial abaixo utilizando a transformada de Laplace.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=e^{t} \\\ y(0)=0 \quad y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O problema nos dá a equação diferencial com condições iniciais e pede a solução y(t)\): \[\begin{cases} y''(t)+4y'(t)=e^{t},\\[4pt] y(0)=0,\quad y'(0)=0. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação é de segunda ordem e não homogênea.
  • A função forçante (termo à direita) é e^{t}\]. - As condições iniciais são \(y(0)=0 e y'(0)=0.]

Passo 2

Vamos recordar a ferramenta que vamos usar e as propriedades essenciais (a “aula rápida”):
  • Definição da transformada de Laplace de uma função f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformadas das derivadas (para y(t) com \mathcal{L}\{y\}=Y(s)):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0).
Essas fórmulas são úteis porque transformam uma equação diferencial em uma equação algébrica em s.
  • Transformada de e^{at}:
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a}\quad(\text{para } s>a).

Passo 3

Agora aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), obtemos:
\mathcal{L}\{y''\}+4\mathcal{L}\{y'\}=\mathcal{L}\{e^{t}\}.
Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0:
\big(s^{2}Y(s)-s\cdot 0-0\big)+4\big(sY(s)-0\big)=\frac{1}{s-1}.
Simplificando,
\big(s^{2}+4s\big)Y(s)=\frac{1}{s-1}.

Passo 4

Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{1}{(s-1)(s^{2}+4s)}.
Fatorando s^{2}+4s:
s^{2}+4s=s(s+4), \qquad\text{logo}\qquad Y(s)=\frac{1}{(s-1)\,s\,(s+4)}.

Passo 5

Fazemos decomposição em frações parciais do tipo
\frac{1}{s(s-1)(s+4)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{s+4}.
Multiplicando ambos os lados por s(s-1)(s+4) obtemos
1=A(s-1)(s+4)+B s(s+4)+C s(s-1).
Para encontrar A,B,C usaremos escolhas convenientes de s:
  • Para s=0: 1=A(-1)(4)=-4A então A=-\dfrac{1}{4}.
  • Para s=1: 1=B\cdot1\cdot5=5B então B=\dfrac{1}{5}.
  • Para s=-4: 1=C(-4)(-5)=20C então C=\dfrac{1}{20}.
Portanto
Y(s)=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s-1}+\frac{1}{20}\cdot\frac{1}{s+4}.

Passo 6

Fazemos a transformada inversa termo a termo. Lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{at}, obtemos:
y(t)=-\frac{1}{4}\cdot 1+\frac{1}{5}e^{t}+\frac{1}{20}e^{-4t}.
Ou seja,
y(t)=-\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}e^{t}+\tfrac{1}{20}e^{-4t}.

Passo 7

Verificação rápida (confere que a solução está correta):
  • Valor inicial:
y(0)=-\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{20}=\frac{-5+4+1}{20}=0.
  • Derivada:
y'(t)=\tfrac{1}{5}e^{t}-\tfrac{4}{20}e^{-4t}=\tfrac{1}{5}e^{t}-\tfrac{1}{5}e^{-4t},
logo y'(0)=\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{5}=0.
  • Substituindo na equação: calcule y''(t)=\tfrac{1}{5}e^{t}+\tfrac{4}{5}e^{-4t}. Então
y''+4y'=\big(\tfrac{1}{5}e^{t}+\tfrac{4}{5}e^{-4t}\big)+4\big(\tfrac{1}{5}e^{t}-\tfrac{1}{5}e^{-4t}\big) = e^{t},
o que confirma que a solução satisfaz a equação.

Resposta

y(t)=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}e^{t}+\dfrac{1}{20}e^{-4t}

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