Resolva os problemas de valor inicial abaixo utilizando a transformada de Laplace.
Passo 1
O problema nos dá a equação diferencial com condições iniciais e pede a solução
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A equação é de segunda ordem e não homogênea.
- A função forçante (termo à direita) é
e
.]
Passo 2
Vamos recordar a ferramenta que vamos usar e as propriedades essenciais (a “aula rápida”):
- Definição da transformada de Laplace de uma função
:
- Linearidade:
. - Transformadas das derivadas (para
com ):
Essas fórmulas são úteis porque transformam uma equação diferencial em uma equação algébrica em
.
- Transformada de
:
Passo 3
Agora aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando
, obtemos:
Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
,
:
Simplificando,
Passo 4
Isolando
:
Fatorando
:
Passo 5
Fazemos decomposição em frações parciais do tipo
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para encontrar
usaremos escolhas convenientes de
:
- Para
: então . - Para
: então . - Para
: então .
Portanto
Passo 6
Fazemos a transformada inversa termo a termo. Lembrando que
e
, obtemos:
Ou seja,
Passo 7
Verificação rápida (confere que a solução está correta):
- Valor inicial:
- Derivada:
logo
.
- Substituindo na equação: calcule
. Então
o que confirma que a solução satisfaz a equação.