Resolva os problemas de valor inicial abaixo utilizando a transformada de Laplace. \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{2 t} \\\ y(0)=0 \quad y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.
e pede para resolver usando a transformada de Laplace, isto é, encontrar a função y(t) (para t\ge 0) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]
Passo 2
Rápida revisão do que vou usar (a transformada de Laplace e propriedades essenciais), com explicações passo a passo.
Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (comportamento adequado em t\ge 0),
Isto converte funções de t em funções de s, transformando equações diferenciais em equações algébricas.
Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
Transformada de derivadas (vou derivar a fórmula para lembrar por que vale): para y(t) com y e y' adequados,
usar integração por partes em \mathcal{L}\{y'(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st} y'(t)\,dt. Seja u=e^{-st}, dv=y'\,dt então du=-s e^{-st}dt, v=y. Assim
Assumindo decaimento suficiente (ou interpretando como transformada bilateral no sentido usual para problemas iniciais), o termo no infinito some e fica
\mathcal{L}\{y'\}(s)= sY(s)-y(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
Para a segunda derivada, aplicar a fórmula recursivamente:
Agora usar as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0 para simplificar as expressões. Substituindo y(0)=0 e y'(0)=0 obtemos
s^{2}Y(s) - 2 s Y(s) + Y(s) = \frac{1}{s-2}.
Factorizando Y(s):
Y(s)\big(s^{2}-2s+1\big)=\frac{1}{s-2}.
Observação: s^{2}-2s+1=(s-1)^{2}. Assim
Y(s)=\frac{1}{(s-2)(s-1)^{2}}.
Passo 5
Agora resta inverter a transformada; para isso é conveniente decompor Y(s)\) em frações parciais. Proponho a decomposição
\[\frac{1}{(s-2)(s-1)^{2}}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{(s-1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s-1)^{2} obtemos a identidade polinomial
1 = A(s-1)^{2} + B(s-2)(s-1) + C(s-2).
Vou expandir e igualar coeficientes. Primeiro expando cada termo:
A(s-1)^{2}=A(s^{2}-2s+1)=A s^{2}-2A s + A.
B(s-2)(s-1)=B(s^{2}-3s+2)=B s^{2}-3B s + 2B.
C(s-2)= C s - 2C.
Somando:
1 = (A+B) s^{2} + (-2A -3B + C) s + (A + 2B -2C).
Comparando coeficientes com o polinômio constante 1 = 0\cdot s^{2} + 0\cdot s + 1, obtemos o sistema:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] -2A -3B + C = 0,\\[4pt] A + 2B -2C = 1. \end{cases}
Resolver passo a passo:
Da primeira equação B=-A\].
- Substituindo em segunda: \(-2A -3(-A) + C = -2A +3A + C = A + C = 0 então C=-A.
- Substituindo B=-A e C=-A na terceira: A + 2(-A) -2(-A) = A -2A +2A = A = 1.
Também é possível substituir y, y', y'' na equação original para confirmar que y''-2y'+y=e^{2t}; se quiser eu faço essa verificação completa passo a passo também.
Força aí — você já tem a solução e viu todo o processo: transformar, resolver algébrica, decompor, inverter e checar. Dá pra usar esse roteiro em várias questões parecidas.