Resolva os problemas de valor inicial abaixo utilizando a transformada de Laplace.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{2 t} \\\ y(0)=0 \quad y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y = e^{2t},\\[4pt] y(0)=0,\quad y^{\prime}(0)=0, \end{cases}
e pede para resolver usando a transformada de Laplace, isto é, encontrar a função y(t) (para t\ge 0) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]

Passo 2

Rápida revisão do que vou usar (a transformada de Laplace e propriedades essenciais), com explicações passo a passo.
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (comportamento adequado em t\ge 0),
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Isto converte funções de t em funções de s, transformando equações diferenciais em equações algébricas.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformada de derivadas (vou derivar a fórmula para lembrar por que vale): para y(t) com y e y' adequados,
    usar integração por partes em \mathcal{L}\{y'(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st} y'(t)\,dt. Seja u=e^{-st}, dv=y'\,dt então du=-s e^{-st}dt, v=y. Assim
\mathcal{L}\{y'\}= \Big[e^{-st}y(t)\Big]_{0}^{\infty} + s\int_{0}^{\infty} e^{-st} y(t)\,dt.
Assumindo decaimento suficiente (ou interpretando como transformada bilateral no sentido usual para problemas iniciais), o termo no infinito some e fica
\mathcal{L}\{y'\}(s)= sY(s)-y(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
Para a segunda derivada, aplicar a fórmula recursivamente:
\mathcal{L}\{y''\}(s)= s\mathcal{L}\{y'\}(s)-y'(0)= s\big(sY(s)-y(0)\big)-y'(0)= s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0).
  • Transformada de exponencial: para a\in\mathbb{R},
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},\qquad \text{(para \(\Re(s)>a\)).}
Estas fórmulas são as ferramentas que vou aplicar no próximo passo.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial termo a termo. Tomando transformadas (com Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}):
  • \mathcal{L}\{y''\}(s)= s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0).
  • \mathcal{L}\{y'\}(s)= sY(s)-y(0).
  • \mathcal{L}\{y\}(s)= Y(s).
  • \mathcal{L}\{e^{2t}\}(s)=\dfrac{1}{s-2}.
Substituindo na equação original:
\big(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)\big) -2\big(sY(s)-y(0)\big) + Y(s) = \frac{1}{s-2}.

Passo 4

Agora usar as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0 para simplificar as expressões. Substituindo y(0)=0 e y'(0)=0 obtemos
s^{2}Y(s) - 2 s Y(s) + Y(s) = \frac{1}{s-2}.
Factorizando Y(s):
Y(s)\big(s^{2}-2s+1\big)=\frac{1}{s-2}.
Observação: s^{2}-2s+1=(s-1)^{2}. Assim
Y(s)=\frac{1}{(s-2)(s-1)^{2}}.

Passo 5

Agora resta inverter a transformada; para isso é conveniente decompor Y(s)\) em frações parciais. Proponho a decomposição \[\frac{1}{(s-2)(s-1)^{2}}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{(s-1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s-1)^{2} obtemos a identidade polinomial
1 = A(s-1)^{2} + B(s-2)(s-1) + C(s-2).
Vou expandir e igualar coeficientes. Primeiro expando cada termo:
  • A(s-1)^{2}=A(s^{2}-2s+1)=A s^{2}-2A s + A.
  • B(s-2)(s-1)=B(s^{2}-3s+2)=B s^{2}-3B s + 2B.
  • C(s-2)= C s - 2C.
Somando:
1 = (A+B) s^{2} + (-2A -3B + C) s + (A + 2B -2C).
Comparando coeficientes com o polinômio constante 1 = 0\cdot s^{2} + 0\cdot s + 1, obtemos o sistema:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] -2A -3B + C = 0,\\[4pt] A + 2B -2C = 1. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da primeira equação B=-A\]. - Substituindo em segunda: \(-2A -3(-A) + C = -2A +3A + C = A + C = 0 então C=-A.
    - Substituindo B=-A e C=-A na terceira: A + 2(-A) -2(-A) = A -2A +2A = A = 1.
Portanto A=1, B=-1, C=-1.
Então a decomposição é
Y(s)=\frac{1}{s-2} - \frac{1}{s-1} - \frac{1}{(s-1)^{2}}.]

Passo 6

Agora aplico a transformada inversa termo a termo, usando as correspondências conhecidas:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-2}\right\} = e^{2t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-1}\right\} = e^{t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s-1)^{2}}\right\} = t e^{t}. (Regra: \mathcal{L}\{t^{n} e^{at}\}=\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}, aqui n=1.)
Portanto, invertendo cada termo:
y(t) = e^{2t} - e^{t} - t e^{t}.
Posso escrever de forma compacta:
y(t)= e^{2t} - (1+t)\,e^{t}.

Passo 7

Verificação rápida (cheia de carinho para aumentar sua confiança): checo as condições iniciais.
  • Em t=0: y(0)=e^{0}-(1+0)e^{0}=1-1=0 — bate com y(0)=0.
  • Derivando y: y'(t)=2e^{2t} - \big((1+t)e^{t}\big)' = 2e^{2t} - \big((1+t)e^{t} + e^{t}\big) = 2e^{2t} - (2+t)e^{t}. Em t=0: y'(0)=2-2=0 — bate com y'(0)=0.
Também é possível substituir y, y', y'' na equação original para confirmar que y''-2y'+y=e^{2t}; se quiser eu faço essa verificação completa passo a passo também.
Força aí — você já tem a solução e viu todo o processo: transformar, resolver algébrica, decompor, inverter e checar. Dá pra usar esse roteiro em várias questões parecidas.

Resposta

y(t)=e^{2t} - (1+t)\,e^{t}

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