Resolva os problemas de valor inicial
y^prime+2x y=-x^9 y com condição inicial y(1)=2
y(x)=2 1x^2 e^-110(x^10-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial de primeira ordem
y' + 2x,y = -x^9,y,
com a condição y(1)=2.
O conteúdo aqui é separação de variáveis (ou equação linear homogênea), e vamos precisar integrar ambos os lados para encontrar y(x) e depois usar y(1)=2 para determinar a constante de integração.

Passo 2

Reescrevendo a equação como
y' = -l(2x + x^9r),y,
podemos separar as variáveis:
1y,dy = -l(2x + x^9r),dx
Agora, integramos dos dois lados:
integral 1y,dy = -integral 2x,dx - integral x^9,dx

Passo 3

Calculando as integrais:
integral 1y,dy = ln|y|, -integral 2x,dx = -2ln|x|, -integral x^9,dx = -x^1010
Logo,
ln|y| = -2ln|x| - x^1010 + C
Exponentiando, obtemos
y = C1,x^-2,e^-x^10/10,
onde C1=e^C é uma constante.

Passo 4

Usando a condição inicial y(1)=2:
2 = C1cdot 1^-2,e^-1/10 Longrightarrow C1 = 2,e^1/10

Passo 5

Substituindo C1 na solução geral:
y(x) = 2,e^1/10,x^-2,e^-x^10/10 = 2,x^-2,e^110-x^1010 = 2,x^-2,e^-x^10-110

Resposta

y(x) = 2,x^-2,expl(-tfracx^10-110r)

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