Resolva os problemas de valor inicial
y^prime+6 x y=0 com condição inicial y(pi)=5
Como no item anterior reescrevemos a EDO
d yy=-6 x d x e portanto integral5^y d yy=integralpi^x 6 x d x
Integrando obtemos
y(x)=5 e^3(x^2-pi^2)

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y' + 6xy = 0
com a condição inicial y(pi)=5. Trata-se de uma equação de primeira ordem, separável em variáveis.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dydx = -6x,y
e, para yneq0,
dyy = -6x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyy = -6 integral x,dx
o que leva a
ln|y| = -3x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Usamos y(pi)=5 para determinar C. Substituindo x=pi e y=5 em ln|y| = -3x^2 + C obtemos
ln 5 = -3pi^2 + C Longrightarrow C = ln 5 + 3pi^2

Passo 5

Substituindo C na expressão de ln|y| resulta
ln|y| = -3x^2 + ln 5 + 3pi^2 Longrightarrow |y| = 5,e^3pi^2 - 3x^2
Como buscamos a solução contínua prendendo o sinal de y(pi)=5>0, temos
y(x) = 5,e^3(pi^2 - x^2)

Resposta

y(x) = 5,e^3(pi^2 - x^2)

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