Resolva os problemas de valor inicial dados.
((x+y)^{2} d x+\left(2 x y+x^{2}-1\right) d y=0, \quad y(1)=1)
((x+y)^{2} d x+\left(2 x y+x^{2}-1\right) d y=0, \quad y(1)=1)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com a condição inicial
.
Este é um caso típico de equação exata, onde devemos verificar se existe uma função potencial tal que
Este é um caso típico de equação exata, onde devemos verificar se existe uma função potencial
Passo 2
Verificamos a exatidão calculando
logo a equação é exata.
Agora, integramos em relação a
:
Agora, integramos
Para encontrar
, diferencio em relação a
:
e imponho
. Assim
Portanto a função potencial é
e a solução geral vem de
.
Passo 3
Usamos a condição inicial
,
para achar
:
Logo
e a solução particular é dada implicitamente por