Resolva os problemas de valor inicial dados.
((x+y)^{2} d x+\left(2 x y+x^{2}-1\right) d y=0, \quad y(1)=1)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(x+y)^2,dx + l(2xy + x^2 - 1r),dy = 0
com a condição inicial y(1)=1.
Este é um caso típico de equação exata, onde devemos verificar se existe uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = (x+y)^2, partial phipartial y = 2xy + x^2 - 1

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando
partialpartial yl[(x+y)^2r] = 2(x+y), partialpartial xl[2xy + x^2 - 1r] = 2y + 2x = 2(x+y),
logo a equação é exata.
Agora, integramos phix = (x+y)^2 em relação a x:
phi(x,y) = integral (x+y)^2,dx = integral l(x^2 + 2xy + y^2r),dx = x^33 + x^2y + x y^2 + h(y)
Para encontrar h(y), diferencio em relação a y:
phiy = x^2 + 2xy + h'(y)
e imponho phiy = 2xy + x^2 - 1. Assim
h'(y) = -1 Longrightarrow h(y) = -y
Portanto a função potencial é
phi(x,y) = x^33 + x^2y + x y^2 - y
e a solução geral vem de phi(x,y)=C.

Passo 3

Usamos a condição inicial x=1, y=1 para achar C:
phi(1,1) = 1^33 + 1^2cdot1 + 1cdot1^2 - 1 = 13 + 1 + 1 - 1 = 43
Logo C=tfrac43 e a solução particular é dada implicitamente por
x^33 + x^2y + x y^2 - y = 43

Resposta

x^33 + x^2y + x y^2 - y = 43

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