Use o Teorema da Convolução para calcular o valor das transformadas de Laplace dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
Informações dadas e o que se quer:
- A função dentro da integral é
. - Queremos
, isto é, a transformada de Laplace do integral acumulado até . - O enunciado pede explicitamente para usar o Teorema da Convolução.
Passo 2
Lembra do que é convolução e do Teorema da Convolução. Vou explicar devagarinho:
- A convolução entre duas funções
e (ambas definidas para ) é
Aqui
é a variável de integração;
é o parâmetro externo.
- O Teorema da Convolução diz que, se
e , então
Ou seja: convolução no tempo vira produto no domínio de
.
Passo 3
Observe que a integral que temos é exatamente uma convolução com a função constante
(a unidade de passo):
- Se tomarmos
para , então
Portanto
Passo 4
Aplicando o Teorema da Convolução, a transformada procurada é o produto das transformadas de
e de
:
- Primeiro calculamos
. Sabemos que
válido para
.
- Agora calculamos
. Vou usar a fórmula padrão:
onde
e
são constantes reais. Aqui
e
. Substituindo:
(Explicando:
é a variável da transformada;
desloca o polo no denominador e aparece subtraído em
.)
Passo 5
Agora multiplicamos
e
para obter a transformada da convolução:
Podemos escrever de forma compacta:
Se quiser, dá para expandir o polinômio do denominador:
, então outra forma equivalente é