Use o Teorema da Convolução para calcular o valor das transformadas de Laplace dadas.
\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} e^{-\tau} \cos \tau d \tau\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
\int_{0}^{t} e^{-\tau}\cos\tau\,d\tau.
Informações dadas e o que se quer:
  • A função dentro da integral é f(\tau)=e^{-\tau}\cos\tau.
  • Queremos \mathcal{L}\!\left\{\displaystyle\int_{0}^{t} e^{-\tau}\cos\tau\,d\tau\right\}, isto é, a transformada de Laplace do integral acumulado até t.
  • O enunciado pede explicitamente para usar o Teorema da Convolução.

Passo 2

Lembra do que é convolução e do Teorema da Convolução. Vou explicar devagarinho:
  • A convolução entre duas funções f e g (ambas definidas para t\ge0) é
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Aqui \tau é a variável de integração; t é o parâmetro externo.
  • O Teorema da Convolução diz que, se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}\{(f*g)(t)\}=F(s)\,G(s).
Ou seja: convolução no tempo vira produto no domínio de s.

Passo 3

Observe que a integral que temos é exatamente uma convolução com a função constante 1 (a unidade de passo):
  • Se tomarmos g(t)=1 para t\ge0, então
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau=\int_{0}^{t} f(\tau)\cdot 1\,d\tau=\int_{0}^{t} f(\tau)\,d\tau.
Portanto
\int_{0}^{t} e^{-\tau}\cos\tau\,d\tau=(f*g)(t) \quad\text{com}\quad f(t)=e^{-t}\cos t,\; g(t)=1.

Passo 4

Aplicando o Teorema da Convolução, a transformada procurada é o produto das transformadas de f e de g:
  • Primeiro calculamos G(s)=\mathcal{L}\{1\}. Sabemos que
\mathcal{L}\{1\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,1\,dt=\frac{1}{s},
válido para \Re(s)>0.
  • Agora calculamos F(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}\cos t\}. Vou usar a fórmula padrão:
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2},
onde a e b são constantes reais. Aqui a=-1 e b=1. Substituindo:
F(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}\cos t\}=\frac{s-(-1)}{(s-(-1))^2+1^2}=\frac{s+1}{(s+1)^2+1}.
(Explicando: s é a variável da transformada; a desloca o polo no denominador e aparece subtraído em s-a.)

Passo 5

Agora multiplicamos F(s) e G(s) para obter a transformada da convolução:
\mathcal{L}\!\left\{\int_{0}^{t} e^{-\tau}\cos\tau\,d\tau\right\} =F(s)\,G(s) =\frac{s+1}{(s+1)^2+1}\cdot\frac{1}{s}.
Podemos escrever de forma compacta:
\boxed{\displaystyle \mathcal{L}\!\left\{\int_{0}^{t} e^{-\tau}\cos\tau\,d\tau\right\}=\frac{s+1}{s\bigl((s+1)^2+1\bigr)}.}
Se quiser, dá para expandir o polinômio do denominador: (s+1)^2+1 = s^2+2s+2, então outra forma equivalente é
\frac{s+1}{s(s^2+2s+2)}.

Resposta

\displaystyle \frac{s+1}{s\bigl((s+1)^2+1\bigr)}

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