Resolva os problemas de valor inicial (PVI) abaixo.
d^2 yd x^2=2-6 x ; y^prime(0)=4, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI
d^2ydx^2=2-6x, y'(0)=4, y(0)=1
Conteúdo: integração sucessiva para encontrar y'(x) e y(x), e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos d^2ydx^2=2-6x em relação a x. Temos
y'(x)=integral(2-6x),dx=2x-3x^2+C1

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y'(0)=4. Substituindo x=0 em y'(x)=2x-3x^2+C1 obtemos
y'(0)=C1=4,
logo C1=4.

Passo 4

Agora integramos y'(x)=2x-3x^2+4 para achar y(x). Isso dá
y(x)=integral(2x-3x^2+4),dx=x^2-x^3+4x+C2

Passo 5

Usamos y(0)=1. Substituindo x=0 em y(x)=x^2-x^3+4x+C2 resulta
y(0)=C2=1,
logo C2=1.

Resposta

y(x)=x^2 - x^3 + 4x + 1

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