Resolva os problemas de valor inicial (PVI). dy - k P(t) dt = 0, y(0) = y0 Res.: y = y0 * e^(k * t)

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma equação diferencial que envolve a derivada de em relação a e uma constante . Além disso, sabemos que em , o valor de é . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação, usando conceitos de equações diferenciais ordinárias, especificamente métodos para resolver equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada de uma forma mais clara. A equação fornecida é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde e .

Passo 3

Para resolver uma equação diferencial linear da forma , usamos o fator integrante. O fator integrante é calculado da seguinte maneira:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para:
Aqui usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada exata.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação com relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para :

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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