Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
Res.:
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma equação diferencial que envolve a derivada de
em relação a
e uma constante
. Além disso, sabemos que em
, o valor de
é
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação, usando conceitos de equações diferenciais ordinárias, especificamente métodos para resolver equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada de uma forma mais clara. A equação fornecida é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde
e
.
Passo 3
Para resolver uma equação diferencial linear da forma
, usamos o fator integrante. O fator integrante
é calculado da seguinte maneira:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Aqui usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada exata.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação com relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: