Resolva os problemas do valor inicial seguintes
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o problema de valor inicial com a equação diferencial e condição inicial:
- O que se pede: encontrar a função
que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Identificar um método conveniente (sem assumir conhecimento prévio): a equação pode ser rearranjada para separar as variáveis
e
. Uma equação é dita separável quando pode ser escrita na forma
, pois então podemos passar todos os termos em
para um lado e os termos em
para o outro e integrar. Aqui temos:
Escrevendo
e dividindo por
(assumindo
localmente), obtemos a separação:
Passo 3
Integrar ambos os lados. Vou explicar as integrais usadas:
- Para a integral em
: . A primitiva de é , porque a derivada de é , e aqui tem . - Para a integral em
: .
Integrando e incluindo a constante de integração
, temos:
Passo 4
Resolver para
. Primeiro eliminamos o logaritmo exponenciando:
Substitui-se a constante positiva
por uma constante arbitrária
e, mais convenientemente, permite-se
ser qualquer constante real não nula (absorvendo o sinal), escrevendo:
onde
é uma constante real determinada pela condição inicial.
Passo 5
Determinar a constante
usando
. Avaliando em
:
Também, pela fórmula geral em
:
Logo
. Substituindo de volta:
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): calcular
a partir da solução encontrada para confirmar que satisfaz a equação original. Como
temos
Como
, segue que
portanto a solução satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Observação: a solução está definida para todo
.