Resolva os problemas do valor inicial seguintes
x^{\prime}=(1+t)(2+x), \quad x(0)=-1

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o problema de valor inicial com a equação diferencial e condição inicial:
x'(t)=(1+t)(2+x(t)),\qquad x(0)=-1.
  • O que se pede: encontrar a função x(t) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Identificar um método conveniente (sem assumir conhecimento prévio): a equação pode ser rearranjada para separar as variáveis x e t. Uma equação é dita separável quando pode ser escrita na forma \dfrac{dx}{dt}=g(t)\,h(x), pois então podemos passar todos os termos em x para um lado e os termos em t para o outro e integrar. Aqui temos:
x'=(1+t)(2+x).
Escrevendo x'=\dfrac{dx}{dt} e dividindo por 2+x (assumindo 2+x\neq0 localmente), obtemos a separação:
\frac{dx}{2+x}= (1+t)\,dt.

Passo 3

Integrar ambos os lados. Vou explicar as integrais usadas:
  • Para a integral em x: \displaystyle\int\frac{dx}{2+x}. A primitiva de 1/(2+x) é \ln|2+x|, porque a derivada de \ln|u| é u'/u, e aqui u=2+x tem u'=1.
  • Para a integral em t: \displaystyle\int(1+t)\,dt = \int 1\,dt + \int t\,dt = t + \frac{t^2}{2}.
Integrando e incluindo a constante de integração C, temos:
\ln|2+x| = t + \frac{t^2}{2} + C.

Passo 4

Resolver para x. Primeiro eliminamos o logaritmo exponenciando:
|2+x| = e^{t + \tfrac{t^2}{2} + C} = e^{C}\,e^{t + \tfrac{t^2}{2}}.
Substitui-se a constante positiva e^{C} por uma constante arbitrária K>0 e, mais convenientemente, permite-se K ser qualquer constante real não nula (absorvendo o sinal), escrevendo:
2+x = K\,e^{t + \tfrac{t^2}{2}},
onde K é uma constante real determinada pela condição inicial.

Passo 5

Determinar a constante K usando x(0)=-1. Avaliando em t=0:
2 + x(0) = 2 + (-1) = 1.
Também, pela fórmula geral em t=0:
2 + x(0) = K\,e^{0 + 0} = K.
Logo K=1. Substituindo de volta:
2 + x = e^{t + \tfrac{t^2}{2}} \quad\Rightarrow\quad x(t)=e^{t + \tfrac{t^2}{2}} - 2.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): calcular x'(t) a partir da solução encontrada para confirmar que satisfaz a equação original. Como
x(t)=e^{t + \tfrac{t^2}{2}} - 2,
temos
x'(t)=\left(1+t\right)e^{t + \tfrac{t^2}{2}}.
Como 2+x(t)=e^{t + \tfrac{t^2}{2}}, segue que
x'(t)=(1+t)(2+x(t)),
portanto a solução satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Observação: a solução está definida para todo t\in\mathbb{R}.

Resposta

x(t)=e^{t + \tfrac{t^2}{2}} - 2

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