Resolva os problemas do valor inicial seguintes
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com valor inicial. Os dados fornecidos são:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que se pede: determinar a função
definida em algum intervalo que satisfaça a equação diferencial e também a condição inicial.
Passo 2
Escolha do método: esta equação é do tipo em que a derivada de
aparece proporcional a
multiplicado por uma função de
. Duas formas naturais de resolver são:
- método de separação de variáveis (muito direto aqui), ou
- considerar como equação linear do 1º ordem e usar fator integrante.
Vou usar separação de variáveis porque é o mais simples neste caso e faz poucas operações. A ideia da separação é escrever os termos com
de um lado e os termos com
do outro e integrar.
Passo 3
Separar variáveis: escrever
como
Aqui a manipulação é válida onde
. Em seguida integra-se ambos os lados em relação a
(ou diretamente em suas variáveis correspondentes).
Passo 4
Integrar ambos os lados: integrar
em
e
em
:
As integrais são conhecidas:
Igualando e juntando as constantes numa só constante
obtemos
onde
é uma constante real.
Passo 5
Resolver para
: exponenciando ambos os lados dá
Denote
. Assim
, logo as soluções são
. No entanto, como a equação original é contínua e a condição inicial fixa o sinal, podemos absorver o sinal na constante
e escrever a solução geral não nula como
onde
é uma constante real (podendo ser positiva ou negativa). Observação: a solução trivial
também satisfaz a equação, mas não satisfaz a condição inicial
.
Passo 6
Determinar a constante com a condição inicial: usar
. Primeiro calcule
. Substituindo em
quando
obtém-se
Portanto
. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Verificação rápida (para ter segurança): calcule a derivada de
.
Usando a regra da cadeia,
Usando a regra da cadeia,
o que coincide com a equação dada. E
, logo a condição inicial também é satisfeita. Tudo confere.
Passo 8
Dica de prova/exame (rapidamente): para equações do tipo
a solução geral não nula é
. Aqui
e
, recuperando o mesmo resultado. Isso é útil para reconhecer e resolver rápido na prova.