Resolva os problemas do valor inicial seguintes
\quad x^{\prime}=x \cos (t), \quad x(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com valor inicial. Os dados fornecidos são:
  • Equação diferencial: x' = x\cos(t).
  • Condição inicial: x(0)=1.
O que se pede: determinar a função x(t) definida em algum intervalo que satisfaça a equação diferencial e também a condição inicial.

Passo 2

Escolha do método: esta equação é do tipo em que a derivada de x aparece proporcional a x multiplicado por uma função de t. Duas formas naturais de resolver são:
  • método de separação de variáveis (muito direto aqui), ou
  • considerar como equação linear do 1º ordem e usar fator integrante.
Vou usar separação de variáveis porque é o mais simples neste caso e faz poucas operações. A ideia da separação é escrever os termos com x de um lado e os termos com t do outro e integrar.

Passo 3

Separar variáveis: escrever \dfrac{dx}{dt}=x\cos(t) como
\frac{1}{x}\,dx=\cos(t)\,dt.
Aqui a manipulação é válida onde x(t)\neq 0. Em seguida integra-se ambos os lados em relação a t (ou diretamente em suas variáveis correspondentes).

Passo 4

Integrar ambos os lados: integrar \dfrac{1}{x}\,dx em x e \cos(t)\,dt em t:
\int \frac{1}{x}\,dx = \int \cos(t)\,dt.
As integrais são conhecidas:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C_1, \qquad \int \cos(t)\,dt = \sin(t) + C_2.
Igualando e juntando as constantes numa só constante C obtemos
\ln|x| = \sin(t) + C,
onde C=C_2-C_1 é uma constante real.

Passo 5

Resolver para x: exponenciando ambos os lados dá
|x| = e^{\sin(t)+C} = e^{C}e^{\sin(t)}.
Denote A=e^{C}>0. Assim |x|=A e^{\sin(t)}, logo as soluções são x(t)=\pm A e^{\sin(t)}. No entanto, como a equação original é contínua e a condição inicial fixa o sinal, podemos absorver o sinal na constante A e escrever a solução geral não nula como
x(t)=K e^{\sin(t)},
onde K é uma constante real (podendo ser positiva ou negativa). Observação: a solução trivial x\equiv 0 também satisfaz a equação, mas não satisfaz a condição inicial x(0)=1.

Passo 6

Determinar a constante com a condição inicial: usar x(0)=1. Primeiro calcule \sin(0)=0. Substituindo em x(t)=K e^{\sin(t)} quando t=0 obtém-se
1 = x(0)=K e^{\sin(0)} = K e^{0} = K.
Portanto K=1. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
x(t)=e^{\sin(t)}.

Passo 7

Verificação rápida (para ter segurança): calcule a derivada de x(t)=e^{\sin(t)}.
Usando a regra da cadeia,
x'(t) = e^{\sin(t)}\cdot \cos(t) = x(t)\cos(t),
o que coincide com a equação dada. E x(0)=e^{\sin(0)}=e^0=1, logo a condição inicial também é satisfeita. Tudo confere.

Passo 8

Dica de prova/exame (rapidamente): para equações do tipo \dfrac{dx}{dt}=a(t)x a solução geral não nula é x(t)=C\exp\!\big(\int a(t)\,dt\big). Aqui a(t)=\cos(t) e \int \cos(t)\,dt=\sin(t), recuperando o mesmo resultado. Isso é útil para reconhecer e resolver rápido na prova.

Resposta

x(t)=e^{\sin(t)}

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