Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^prime prime prime-y=5, y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''' - y = 5, y(0)=y'(0)=y''(0)=0
usando a transformada de Laplace. O conteúdo é equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e transformada de Laplace das derivadas. Vamos definir Y(s)=Ly(t)(s) e usar as fórmulas padrão:
Ly'(s)=sY(s)-y(0), Ly''(s)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
Ly'''(s)=s^3Y(s)-s^2y(0)-sy'(0)-y''(0)

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados de y''' - y = 5 e usando y(0)=y'(0)=y''(0)=0, obtemos
Ly'''(s)-Ly(s) =;s^3Y(s)-Y(s) ;=;L5(s)=5s
Isso leva à equação algébrica
s^3Y(s)-Y(s)=5s Longrightarrow Y(s),(s^3-1)=5s Longrightarrow Y(s)=5s,(s^3-1)

Passo 3

Fatoramos s^3-1 e escrevemos frações parciais:
s^3-1=(s-1)(s^2+s+1), 5s(s-1)(s^2+s+1) =As+Bs-1+Cs+Ds^2+s+1
Multiplicando por s(s-1)(s^2+s+1) e comparando coeficientes, achamos
A=-5, B=tfrac53, C=tfrac103, D=tfrac53
Logo
Y(s) =-5s +tfrac53s-1 +tfrac103s+tfrac53s^2+s+1

Passo 4

Para inverter a última fração, note que
s^2+s+1 =l(s+tfrac12r)^2+l(tfracraiz32r)^2,
e
tfrac103s+tfrac53 =tfrac103l(s+tfrac12r) -tfrac103cdottfrac12+tfrac53 =tfrac103l(s+tfrac12r)
Portanto
tfrac103s+tfrac53s^2+s+1 =tfrac103,(s+tfrac12) l(s+tfrac12r)^2+(tfracraiz32)^2

Passo 5

Usamos agora as transformadas inversas conhecidas:
L^-1ltfrac1sr=1, L^-1ltfrac1s-1r=e^t, L^-1ltfracs+a(s+a)^2+b^2r=e^-atcos(bt)
Aplicando a cada termo de Y(s):
-5s;mapsto;-5, 5/3s-1;mapsto;53e^t, tfrac103(s+tfrac12)(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 ;mapsto;103,e^-t/2cos!l(tfracraiz32tr)
Somando, obtemos a solução no domínio do tempo.

Resposta

y(t)=-5+53e^t+103,e^-t/2cos!l(raiz32tr)

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