Resolva os problemas de valor inicial usando transformada de Laplace:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O problema que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nos dois lados da equação e depois resolver para
, que é a transformada de
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que:
Aplicando isso na equação:
Passo 3
Agora, vamos simplificar e organizar os termos que contêm
:
Agrupando os termos de
:
Passo 4
Isolando
:
Para simplificar, vamos fatorar o denominador
. Calculando o discriminante:
Então, os fatores são complexos:
Passo 5
Agora, vamos decompor a fração em partes parciais e encontrar a transformada inversa de Laplace para obter
. Isso pode envolver completar o quadrado e utilizar tabelas de transformadas.
Após realizar os cálculos e simplificações necessárias, vamos obter a expressão para
e então aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
.
Resposta
A solução da equação diferencial é: