Resolva os problemas de valor inicial usando transformada de Laplace:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O problema que temos é:
Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares e Aplicação da Transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. Para resolver, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da equação, usar as propriedades da transformada para derivadas e depois resolver para
, que é a transformada de
. Por fim, vamos usar a transformada inversa para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso na equação:
Passo 3
Vamos substituir as transformadas das derivadas:
Sabemos que
e
, então substituir:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o lado esquerdo:
Agrupando os termos de
:
Simplificando mais:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar as transformadas do lado direito. Sabemos que:
Então,
E:
Substituindo na equação:
Passo 6
Vamos isolar
:
Então:
Passo 7
Vamos fatorar o denominador:
Então:
Passo 8
Simplificando o numerador:
Multiplicamos tudo por
para eliminar os denominadores:
No entanto, para facilitar, vamos decompor em frações parciais. Observamos que:
Simplificando e encontrando coeficientes:
Vamos encontrar os coeficientes de frações parciais para cada termo.
Passo 9
Após realizar a decomposição em frações parciais e simplificar, obtemos:
Resolvendo para A, B, C, e D, encontramos:
Então:
Passo 10
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo:
Portanto:
Resposta
A solução da equação diferencial é: