Resolva os problemas de valor inicial usando transformada de Laplace:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=3 t e^t+4, y(0)=1, y^prime(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O problema que temos é:
y'' - 3 y' + 2 y = 3 t e^t + 4, y(0) = 1, y'(0) = 1
Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares e Aplicação da Transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. Para resolver, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da equação, usar as propriedades da transformada para derivadas e depois resolver para Y(s) , que é a transformada de y(t) . Por fim, vamos usar a transformada inversa para encontrar y(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ly' = s Y(s) - y(0)
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Aplicando isso na equação:
Ly'' - 3 Ly' + 2 Ly = L3 t e^t + L4

Passo 3

Vamos substituir as transformadas das derivadas:
(s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) - 3 (s Y(s) - y(0)) + 2 Y(s) = L3 t e^t + L4
Sabemos que y(0) = 1 e y'(0) = 1 , então substituir:
(s^2 Y(s) - s cdot 1 - 1) - 3 (s Y(s) - 1) + 2 Y(s) = L3 t e^t + L4

Passo 4

Agora, vamos simplificar o lado esquerdo:
s^2 Y(s) - s - 1 - 3 s Y(s) + 3 + 2 Y(s) = L3 t e^t + L4
Agrupando os termos de Y(s) :
(s^2 - 3 s + 2) Y(s) + (-s - 1 + 3) = L3 t e^t + L4
Simplificando mais:
(s^2 - 3 s + 2) Y(s) - s + 2 = L3 t e^t + L4

Passo 5

Agora, precisamos encontrar as transformadas do lado direito. Sabemos que:
Lt e^a t = 1(s - a)^2
Então,
L3 t e^t = 3 cdot 1(s - 1)^2
E:
L4 = 4s
Substituindo na equação:
(s^2 - 3 s + 2) Y(s) - s + 2 = 3(s - 1)^2 + 4s

Passo 6

Vamos isolar Y(s) :
(s^2 - 3 s + 2) Y(s) = 3(s - 1)^2 + 4s + s - 2
Então:
Y(s) = 3(s - 1)^2 + 4s + s - 2s^2 - 3 s + 2

Passo 7

Vamos fatorar o denominador:
s^2 - 3 s + 2 = (s - 1)(s - 2)
Então:
Y(s) = 3(s - 1)^2 + 4s + s - 2(s - 1)(s - 2)

Passo 8

Simplificando o numerador:
Multiplicamos tudo por (s - 1)^2 s para eliminar os denominadores:
Y(s) = 3 s + 4 (s - 1)^2 + (s - 2)(s)(s - 1)^2(s - 1)^2 (s - 2) s
No entanto, para facilitar, vamos decompor em frações parciais. Observamos que:
Y(s) = 3(s - 1)^2 (s - 1)(s - 2) + 4s (s - 1)(s - 2) + s - 2(s - 1)(s - 2)
Simplificando e encontrando coeficientes:
Vamos encontrar os coeficientes de frações parciais para cada termo.

Passo 9

Após realizar a decomposição em frações parciais e simplificar, obtemos:
Y(s) = As + Bs - 1 + C(s - 1)^2 + Ds - 2
Resolvendo para A, B, C, e D, encontramos:
A = 2, B = 1, C = 3, D = -1
Então:
Y(s) = 2s + 1s - 1 + 3(s - 1)^2 - 1s - 2

Passo 10

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo:
L^-12s = 2
L^-11s - 1 = e^t
L^-13(s - 1)^2 = 3 t e^t
L^-11s - 2 = e^2 t
Portanto:
y(t) = 2 + e^t + 3 t e^t - e^2 t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 2 + e^t + 3 t e^t - e^2 t

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