Resolva os problemas de valor inicial usando transformada de Laplace:
y^prime prime+3 y=t^2+2 e^t, y(0)=0, y^prime(0)=2.

Passo 1

Vamos resolver um problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
y'' + 3y = t^2 + 2e^t, y(0) = 0, y'(0) = 2
Para resolver essa equação, precisamos usar a transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar equações diferenciais em álgebra simples de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de uma derivada nos ajuda a lidar com as derivadas de y .
Ly'' + 3Ly = Lt^2 + 2Le^t

Passo 3

Sabemos que:
Ly'' = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)
Substituindo os valores iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 2 :
Ly'' = s^2Y(s) - 2
E Ly = Y(s) , então a equação fica:
s^2Y(s) - 2 + 3Y(s) = Lt^2 + 2Le^t

Passo 4

Agora, vamos calcular as transformadas do lado direito:
  • Para Lt^2 :
Lt^n = n!s^n+1 Rightarrow Lt^2 = 2!s^3 = 2s^3
  • Para Le^t :
Le^at = 1s - a Rightarrow Le^t = 1s - 1
Então:
Lt^2 + 2Le^t = 2s^3 + 2s - 1

Passo 5

Substituindo tudo de volta na equação:
s^2Y(s) - 2 + 3Y(s) = 2s^3 + 2s - 1
Vamos juntar os termos com Y(s) :
(s^2 + 3)Y(s) = 2s^3 + 2s - 1 + 2

Passo 6

Agora, isolamos Y(s) :
Y(s) = 2s^3 + 2s - 1 + 2s^2 + 3
Para simplificar, vamos colocar todos os termos sobre o mesmo denominador:
Y(s) = 2 + 2s^3/(s - 1) + 2s^3s^3(s^2 + 3)
No entanto, para facilitar a inversão, vamos separar as frações:
Y(s) = 2s^3(s^2 + 3) + 2(s - 1)(s^2 + 3)

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace de Y(s) . Vamos tratar cada termo separadamente.
  1. Para 2s^3(s^2 + 3) :
Use frações parciais para decompor:
2s^3(s^2 + 3) = As + Bs^2 + Cs^3 + Ds + Es^2 + 3
Resolvendo, encontramos os coeficientes A, B, C, D, E e aplicamos a transformada inversa.
  1. Para 2(s - 1)(s^2 + 3) :
Também usamos frações parciais:
2(s - 1)(s^2 + 3) = As - 1 + Bs + Cs^2 + 3
Resolvendo para A, B, C , aplicamos a transformada inversa.

Passo 8

Após encontrar todas as partes, somamos as transformadas inversas correspondentes. Isso nos dará a solução y(t) da equação diferencial original.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 13 t^2 + 23 e^t - 23 cos(raiz3, t) - 2raiz3 sin(raiz3, t)

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