Resolva os problemas de valor inicial usando transformada de Laplace:
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
Para resolver essa equação, precisamos usar a transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar equações diferenciais em álgebra simples de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de uma derivada nos ajuda a lidar com as derivadas de
.
Passo 3
Sabemos que:
Substituindo os valores iniciais
e
:
E
, então a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular as transformadas do lado direito:
- Para
:
- Para
:
Então:
Passo 5
Substituindo tudo de volta na equação:
Vamos juntar os termos com
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Para simplificar, vamos colocar todos os termos sobre o mesmo denominador:
No entanto, para facilitar a inversão, vamos separar as frações:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace de
. Vamos tratar cada termo separadamente.
- Para
:
Use frações parciais para decompor:
Resolvendo, encontramos os coeficientes
e aplicamos a transformada inversa.
- Para
:
Também usamos frações parciais:
Resolvendo para
, aplicamos a transformada inversa.
Passo 8
Após encontrar todas as partes, somamos as transformadas inversas correspondentes. Isso nos dará a solução
da equação diferencial original.
Resposta
A solução da equação diferencial é: