Use o método de variação de parâmetros para encontrar a solução geral da EDO 2 \mathrm{y}^{\prime \prime}-3 \mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{y}=\left(t^{2}+1\right) e^{t}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não homogênea
2y''-3y'+y=(t^2+1)e^t
pelo método de variação de parâmetros. Vamos:
  1. Dividir por 2 para pôr na forma padrão
  2. Encontrar as soluções da homogênea
  3. Calcular o Wronskiano e usar as fórmulas de variação de parâmetros
  4. Determinar as funções u_1 e u_2
  5. Montar a solução particular e, por fim, a solução geral

Passo 2

Dividindo por 2, obtemos
y''-\tfrac32\,y'+\tfrac12\,y = \frac{(t^2+1)e^t}{2}.
A equação característica da homogênea é
r^2-\tfrac32r+\tfrac12=0
cuja solução é
r=\frac{3\pm1}{4}\implies r_1=1,\quad r_2=\tfrac12.
Logo as soluções fundamentais são
y_1=e^t,\qquad y_2=e^{t/2}
e a homogênea é
y_h = C_1e^t + C_2e^{t/2}.

Passo 3

O Wronskiano de y_1,y_2 vale
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1'& y_2' \end{vmatrix} = e^t\cdot\tfrac12e^{t/2} - e^t\cdot e^{t/2} = -\tfrac12e^{3t/2}.
Para a forma padrão y''+p\,y'+q\,y=g(t) (aqui g(t)=\tfrac{(t^2+1)e^t}{2}), as fórmulas são
u_1' = -\frac{y_2\,g(t)}{W}, \quad u_2' = \frac{y_1\,g(t)}{W}.

Passo 4

Calculando u_1':
u_1' = -\frac{e^{t/2}\,\bigl((t^2+1)e^t/2\bigr)}{-\tfrac12e^{3t/2}} = t^2+1.
Integrando, desprezando constante (entra na homogênea):
u_1 = \int(t^2+1)\,\mathrm{d}t = \tfrac{t^3}{3}+t.

Passo 5

Calculando u_2' e u_2:
u_2' = \frac{e^t\,\bigl((t^2+1)e^t/2\bigr)}{-\tfrac12e^{3t/2}} = -(t^2+1)e^{t/2},
u_2 = -\int(t^2+1)e^{t/2}\,\mathrm{d}t.
Para I=\int(t^2+1)e^{t/2}\,\mathrm{d}t use partes:
escolha u=t^2+1,\;\mathrm{d}v=e^{t/2}\mathrm{d}t \implies v=2e^{t/2},\,\mathrm{d}u=2t\,\mathrm{d}t,
I = 2(t^2+1)e^{t/2} - 4\int t e^{t/2}\,\mathrm{d}t.
Para J=\int t e^{t/2}\mathrm{d}t, partes com u=t,\;\mathrm{d}v=e^{t/2}\mathrm{d}t \implies v=2e^{t/2},
J = 2t e^{t/2} - 2\int e^{t/2}\mathrm{d}t = 2t e^{t/2} - 4e^{t/2}.
Substituindo em I:
I = 2(t^2+1)e^{t/2} - 4(2t e^{t/2}-4e^{t/2}) = 2e^{t/2}(t^2 -4t +9).
Logo
u_2 = -2e^{t/2}(t^2 -4t +9).

Passo 6

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \bigl(\tfrac{t^3}{3}+t\bigr)e^t -2e^{t/2}(t^2 -4t +9)\,e^{t/2}
\phantom{y_p} = e^t\Bigl(\tfrac{t^3}{3}+t -2(t^2-4t+9)\Bigr) = e^t\Bigl(\tfrac{t^3}{3}-2t^2+9t-18\Bigr).
Assim a solução geral é
y = y_h + y_p = C_1e^t + C_2e^{t/2} + e^t\Bigl(\tfrac{t^3}{3}-2t^2+9t-18\Bigr).

Resposta

\boxed{y = C_1e^t + C_2e^{t/2} + e^t\Bigl(\tfrac{t^3}{3}-2t^2+9t-18\Bigr).}

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