Seja
(a) F é contínua em - 1 ? (justifique usando a definição)
Passo 1
O enunciado define uma função por partes e pede para verificar se F(x)=x^2+2x,&x<-1x,&-1<= x<=0[garb<=d] é contínua em F usando a definição de continuidade (x=-1-varepsilon). Vamos precisar calcular o valor de de, os limites laterais e depois montar a prova F(-1)-varepsilon.
Passo 2
Primeiro, identificamos o valor da função em x=-1. Como -1 está na segunda parte (-1<= x<=0), temos
F(-1)=-1
Passo 3
Para provar continuidade em x=-1 usamos a definição: dado varepsilon>0, queremos encontrar de0 tal que sempre que |x+1| então |F(x)-F(-1)|. Escolhemos
de
Passo 4
Agora analisamos os dois casos de x perto de -1, com 0<|x+1|:
Se x< -1, então F(x)=x^2+2x. Note que
F(x)-F(-1)=x^2+2x-(-1)=(x+1)^2
Como |x+1|, segue
- Se |F(x)-F(-1)|=(x+1)^2<|x+1| (ou seja, ainda dentro de -1<= x< -1+de), então |x+1|. Logo F(x)=x
Passo 5
Como em ambos os casos sempre que |x+1| temos |F(x)-F(-1)|, concluímos pela definição que limxto-1F(x)=F(-1), ou seja, F é contínua em x=-1.
Resposta
Sim, F é contínua em -1 segundo a prova varepsilon-de.