Seja F(x)=ccc & & x^2+2 x & se & x<-1 x & se & -1 <= x <= 0 1ln (x) & & (3 x) & se & x>0
(a) F é contínua em - 1 ? (justifique usando a definição)

Passo 1

O enunciado define uma função por partes e pede para verificar se F(x)=x^2+2x,&x<-1x,&-1<= x<=0[garb<=d] é contínua em F usando a definição de continuidade ( x=-1- varepsilon). Vamos precisar calcular o valor de de, os limites laterais e depois montar a prova F(-1)- varepsilon.

Passo 2

Primeiro, identificamos o valor da função em x=-1. Como -1 está na segunda parte ( -1<= x<=0), temos
F(-1)=-1

Passo 3

Para provar continuidade em x=-1 usamos a definição: dado varepsilon>0, queremos encontrar de0 tal que sempre que |x+1| então |F(x)-F(-1)|. Escolhemos
de

Passo 4

Agora analisamos os dois casos de x perto de -1, com 0<|x+1|:
  • Se x< -1, então F(x)=x^2+2x. Note que
F(x)-F(-1)=x^2+2x-(-1)=(x+1)^2
Como |x+1|, segue
- Se |F(x)-F(-1)|=(x+1)^2<|x+1| (ou seja, ainda dentro de -1<= x< -1+de), então |x+1|. Logo
F(x)=x

Passo 5

Como em ambos os casos sempre que |x+1| temos |F(x)-F(-1)|, concluímos pela definição que limxto-1F(x)=F(-1), ou seja, F é contínua em x=-1.

Resposta

Sim, F é contínua em -1 segundo a prova varepsilon- de.

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