Resolva o PVI
y^prime=y(x y^3-1) ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y' = yl(xy^3 - 1r), y(0)=1
Reconhecemos que, desenvolvendo, fica
y' + y = x,y^4,
que é uma equação de Bernoulli com n=4.

Passo 2

Colocamos no formato padrão
y' + P(x),y = Q(x),y^n,
identificando
P(x)=1, Q(x)=x, n=4

Passo 3

Fazemos a substituição típica de Bernoulli
z = y^1-n = y^-3
Então
dzdx = -3,y^-4,dydx = -3y^-4l(xy^4 - yr) = -3x + 3y^-3 = -3x + 3z,
ou seja
dzdx - 3z = -3x

Passo 4

Esta é uma equação linear em z. O fator integrante é
mu(x) = e^integral -3,dx = e^-3x
Multiplicando a equação por mu(x):
ddxl(z,e^-3xr) = -3x,e^-3x
Integramos por partes:
integral -3x,e^-3x,dx = e^-3xl(x+tfrac13r) + C,
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z,e^-3x = e^-3xl(x+tfrac13r) + C ;Longrightarrow; z = x + tfrac13 + C,e^3x

Passo 5

Usando y(0)=1implies z(0)=1^-3=1, obtemos
1 = 0 + tfrac13 + C Longrightarrow C = tfrac23
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z = x + tfrac13 + tfrac23,e^3x

Passo 6

Voltando a y:
y^-3 = x + tfrac13 + tfrac23,e^3x Longrightarrow y^3 = 1x + tfrac13 + tfrac23,e^3x = 33x + 1 + 2e^3x
Portanto
y(x) = l(tfrac33x + 1 + 2e^3xr)^!1/3

Resposta

y(x) = (33x + 1 + 2e^3x)^1/3

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