Resolva o PVI: x^{2} d x-\left(1-y^{2}\right) d y=0, \quad y(0)=0. Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita y=y(x) (ou y=y(t) ) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
x^{2}\,dx-(1-y^{2})\,dy=0,\qquad y(0)=0.
As perguntas a responder são:
  • Identificar o(s) tipo(s) da equação (separável, exata, etc.).
  • Verificar existência e unicidade da solução que passa por (0,0).
  • Encontrar a solução (explícita y=y(x) quando possível) e verificar que satisfaz y(0)=0.
Informações fornecidas: a equação diferencial escrita em forma diferencial com dx e dy e a condição inicial y(0)=0.

Passo 2

Identificação do tipo da equação.
Escrevendo na forma padrão para ODEs: podemos resolver para dy/dx. Dividindo por dx (assumindo dx\neq0),
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}.
  • Esta é uma equação de primeira ordem.
  • É separável: pode-se separar as variáveis y e x em lados distintos.
  • Também é exata como forma diferencial: escrevendo M(x,y)=x^{2} e N(x,y)=-(1-y^{2}), tem-se \partial M/\partial y=0 e \partial N/\partial x=0, logo \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, portanto a forma M\,dx+N\,dy=0 é exata (isso confirma que é integrável por potencial).
Vou usar o método separável (é o mais direto) — ambos os métodos dão a mesma equação implícita de solução.

Passo 3

Verificação de existência e unicidade (teorema de Picard–Lindelöf / teoria das EDOs de 1ª ordem).
Escrevemos a ODE em forma normal
\frac{dy}{dx}=f(x,y),\qquad f(x,y)=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}.
Para aplicar o teorema de existência e unicidade, precisamos que f e \partial f/\partial y sejam contínuas numa vizinhança do ponto inicial (0,0).
Calculamos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2xy\,x}{(1-y^{2})^{2}}=\frac{2x^{2}y}{(1-y^{2})^{2}},
que é contínua sempre que 1-y^{2}\neq0 (ou seja, desde que y\neq\pm1). Em particular, em qualquer retângulo que contenha (0,0) e que não atinja y=\pm1, f e \partial f/\partial y são contínuas. Logo existe uma solução local única passando por (0,0). A solução pode ser estendida enquanto y(x) não atinge \pm1 (porque aí f deixa de ser contínua).
Resumo: existe e é única a solução local que satisfaz y(0)=0. O domínio maximal de existência será até o ponto em que y alcance \pm1 (se isso acontecer) — vamos determinar isso depois da integração.

Passo 4

Resolver a equação por separação de variáveis (passo a passo e com explicação didática).
Partimos de
(1-y^{2})\,dy = x^{2}\,dx.
A ideia de separação é colocar termos só em y com dy de um lado e termos só em x com dx do outro, e então integrar ambos os lados. Já está separado: o lado esquerdo depende só de y, o direito só de x. Integramos:
Integrando o lado em y:
\int(1-y^{2})\,dy=\int 1\,dy-\int y^{2}\,dy = y-\frac{y^{3}}{3}.
Integrando o lado em x:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Igualando as integrais e adicionando constante de integração C:
y-\frac{y^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}+C.

Passo 5

Aplicar a condição inicial para determinar a constante e simplificar a solução implícita.
Usando y(0)=0, substitui-se x=0, y=0 na relação:
0-\frac{0^{3}}{3}=\frac{0^{3}}{3}+C \quad\Longrightarrow\quad C=0.
Portanto a solução implícita que passa por (0,0) é
y-\frac{y^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}.
Multiplicando por 3 para simplificar:
3y-y^{3}=x^{3}.
Reescrevendo como polinômio em y:
y^{3}-3y + x^{3}=0.
Essa é a forma implícita da solução. Podemos verificar que (diferenciando implicitamente) recuperamos a equação original: diferenciando 3y-y^{3}=x^{3} em relação a x (3-3y^{2})y' = 3x^{2}, ou seja (1-y^{2})y' = x^{2}, que é exatamente \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^{2}}{1-y^{2}}.

Passo 6

Obter solução explícita y=y(x) (usando substituição trigonométrica) e discutir domínio.
Queremos resolver a cúbica y^{3}-3y + x^{3}=0 para y. Uma substituição trigonométrica clássica para resolver formas y^{3}-3y é usar y=2\sin\theta. Vamos ver por quê:
Se y=2\sin\theta, então
y^{3}-3y = 8\sin^{3}\theta - 6\sin\theta = 2\bigl(4\sin^{3}\theta-3\sin\theta\bigr).
Usa-se a identidade de ângulo triplo para seno:
\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^{3}\theta \quad\Longrightarrow\quad 4\sin^{3}\theta-3\sin\theta = -\sin(3\theta).
Logo
y^{3}-3y = 2\bigl(4\sin^{3}\theta-3\sin\theta\bigr) = -2\sin(3\theta).
Substituindo na equação implícita y^{3}-3y + x^{3}=0 obtemos
-2\sin(3\theta) + x^{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sin(3\theta) = \frac{x^{3}}{2}.
Isto dá
3\theta = \arcsin\!\left(\frac{x^{3}}{2}\right) + 2k\pi \quad\text{ou outras ramificações,}çõ
mas para obter a solução contínua que passa por (0,0) escolhemos a ramificação principal e tomamos k=0. Assim
\theta = \frac{1}{3}\arcsin\!\left(\frac{x^{3}}{2}\right).
Voltando para y:
y(x)=2\sin\!\left(\frac{1}{3}\arcsin\!\left(\frac{x^{3}}{2}\right)\right).
Verificações importantes e domínio:
  • Quando x=0, \arcsin(0)=0 então y(0)=2\sin(0)=0: a condição inicial é satisfeita.
  • A expressão \arcsin\bigl(x^{3}/2\bigr) exige \bigl|x^{3}/2\bigr|\le1, isto é |x|\le 2^{1/3}. Portanto a forma explícita dada por y(x)=2\sin\bigl(\tfrac{1}{3}\arcsin(x^{3}/2)\bigr) é válida pelo menos para |x|\le 2^{1/3}.
  • Observação sobre comportamento limite: quando x \to 2^{1/3} tem-se x^{3}/2\to1 e então y\to 2\sin(\tfrac{1}{3}\pi)=2\sin(\pi/3)=2\cdot(\sqrt{3}/2)=\sqrt{3}. Mas note que y=\pm1 correspondem a x=\pm 2^{1/3}? Vamos verificar direto na implicita: em y=1 temos 3(1)-1=2 logo x^{3}=2 i.e. x=2^{1/3}. Assim a solução atinge y=1 em x=2^{1/3} e atinge y=-1 em x=-2^{1/3}. (A expressão trigonométrica acima é a ramificação que passa por y(0)=0 e fica entre -1 e 1 para |x|<2^{1/3}.)
  • Portanto o intervalo máximo em x contendo 0 em que a solução é garantidamente única e C^{1} (pelas hipóteses do teorema) é (-2^{1/3},\,2^{1/3}); a solução pode ser continuada até atingir y=\pm1 em x=\pm 2^{1/3}, ponto em que a equação normalizada \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^{2}}{1-y^{2}} se torna singular.
Se alguém preferir, pode deixar a solução na forma implícita simples e elegante
3y-y^{3}=x^{3},
que é válida globalmente como relação algébrica entre x e y (cada x dá até três raízes reais, e a escolha da raiz que corresponde à condição inicial é a que passa por (0,0) e é dada pela fórmula trigonométrica acima no intervalo indicado).

Passo 7

Resumo final das propriedades pedidas (existência, unicidade e domínio maximal) e verificação rápida.
  • Tipo: equação de primeira ordem, separável e exata.
  • Existência e unicidade: existe e é única solução local que passa por (0,0) porque f(x,y)=x^{2}/(1-y^{2}) e \partial f/\partial y são contínuas numa vizinhança de (0,0) que evita y=\pm1.
  • Solução implícita: 3y-y^{3}=x^{3}.
  • Solução explícita (ramificação passando por (0,0)):
y(x)=2\sin\!\left(\frac{1}{3}\arcsin\!\left(\frac{x^{3}}{2}\right)\right),
válida para |x|\le 2^{1/3} (mais precisamente válida enquanto |x^{3}/2|\le1); a condição inicial y(0)=0 é satisfeita.
  • O domínio maximal (em x) da solução única que contém 0 é até os pontos onde y=\pm1, que ocorrem em x=\pm 2^{1/3}.

Resposta

Tipo: separável e exata.
Existe e é única solução local passando por (0,0); máximo intervalo de existência contendo 0 é (-2^{1/3},\,2^{1/3}) (até atingir y=\pm1).
Solução implícita: 3y-y^{3}=x^{3}.
Solução explícita (ramificação com y(0)=0):
y(x)=2\sin\!\left(\frac{1}{3}\arcsin\!\left(\frac{x^{3}}{2}\right)\right),
válida para |x|\le 2^{1/3} e com y(0)=0.

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