Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias e determine se a solução é explícita ou implícita:
;
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
e pede para encontrar a solução geral e dizer se ela é explícita ou implícita. Vamos identificar se a equação é exata ou se precisa de fator integrante.
Passo 2
Testamos se é exata, comparando
verificando
Como
em geral, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa só de
. Calculamos
que depende apenas de
. Logo, o fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
, obtendo
Chamando
verificamos
logo agora é exata.
Passo 5
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
:
Derivando em relação a
e igualando a
:
Passo 6
Assim a função potencial é
A solução geral vem de
, isto é,
Essa forma é implícita, embora possamos, se quisermos, isolar
como
Mas a resposta mais direta é a forma implícita.
Resposta
que é uma solução implícita.