Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias e determine se a solução é explícita ou implícita:
(x y-1) d x+\left(x^{2}-x y\right) d y=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
(xy - 1)\,dx + (x^2 - xy)\,dy = 0
e pede para encontrar a solução geral e dizer se ela é explícita ou implícita. Vamos identificar se a equação é exata ou se precisa de fator integrante.

Passo 2

Testamos se é exata, comparando
M(x,y) = xy - 1,\quad N(x,y) = x^2 - xy,
verificando
\frac{\partial M}{\partial y} = x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x - y.
Como x \neq 2x - y em geral, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de x. Calculamos
\frac{1}{N}\bigl(\partial M/\partial y - \partial N/\partial x\bigr) = \frac{x - (2x - y)}{x^2 - xy} = -\frac1{x},
que depende apenas de x. Logo, o fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int -\tfrac1{x}\,dx\Bigr) = \exp(-\ln|x|) = \frac1{x}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=1/x, obtendo
\Bigl(y - \tfrac1{x}\Bigr)\,dx + (x - y)\,dy = 0.
Chamando
\widetilde M = y - \tfrac1{x}, \qquad \widetilde N = x - y,
verificamos
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = 1, \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = 1,
logo agora é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\Psi_x = \widetilde M = y - \tfrac1{x}, \qquad \Psi_y = \widetilde N = x - y.
Integrando \Psi_x em relação a x:
\Psi(x,y) = \int \Bigl(y - \tfrac1{x}\Bigr)\,dx = xy - \ln|x| + h(y).
Derivando em relação a y e igualando a \widetilde N:
\Psi_y = x + h'(y) \stackrel!= x - y \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -\tfrac{y^2}{2}.

Passo 6

Assim a função potencial é
\Psi(x,y) = xy - \ln|x| - \tfrac{y^2}{2}.
A solução geral vem de \Psi(x,y)=C, isto é,
xy - \ln|x| - \frac{y^2}{2} = C.
Essa forma é implícita, embora possamos, se quisermos, isolar y como
y = x \pm \sqrt{x^2 - 2\ln|x| + C'}.
Mas a resposta mais direta é a forma implícita.

Resposta

xy - \ln|x| - \frac{y^2}{2} = C,
que é uma solução implícita.

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