Resolva o PVI: y^{\prime \prime}-15 y^{\prime}+50 y=-127 \cos (x)+765 \operatorname{sen}(x)+50 x^{2}+120 x+507 com condições iniciais y(0)=18 e y^{\prime}(0)=58

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Temos a equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea
y''-15y'+50y=-127\cos(x)+765\sin(x)+50x^{2}+120x+507.
  • Condições iniciais:
y(0)=18,\qquad y'(0)=58.
O que é pedido: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro passo técnico: resolver a equação homogênea associada para obter a solução geral da parte homogênea.
A equação homogênea é
y''-15y'+50y=0.
Assume-se solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-15r+50=0.
Vamos resolvê-la: o discriminante é
\Delta = (-15)^{2}-4\cdot1\cdot50 =225-200=25.
Portanto as raízes são
r=\frac{15\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{15\pm5}{2}.
Isso dá r_{1}=10 e r_{2}=5. Como são raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{10x}+C_{2}e^{5x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitárias a determinar pelas condições iniciais.
Explicação curta: escolhemos e^{rx} porque para coeficientes constantes a equação reduz a um polinômio em r. A solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais associadas às raízes.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação completa. O lado direito é soma de duas partes: uma combinação linear de \cos x e \sin x, e um polinômio quadrático em x. Como o operador é linear, podemos procurar y_{p} como soma das soluções particulares para cada parte:
y_{p}=y_{p}^{(\text{trig})}+y_{p}^{(\text{pol})}.
Vou tratar cada parte separadamente.

Passo 4

Parte trigonométrica: o termo forçante é -127\cos x+765\sin x\). Pela técnica dos coeficientes não determinados, para uma forçante \(A\cos x + B\sin x\) tentamos um \(y\) da forma \[y_{p}^{(\text{trig})}=a\cos x + b\sin x,
onde a e b são constantes a determinar. (Motivo: derivadas de \cos e \sin produzem combinações de \cos e \sin, então esse ansatz fecha.)
Calculemos y' e y'' para esse ansatz:
y_{p}^{(\text{trig})'} = -a\sin x + b\cos x,
y_{p}^{(\text{trig})''} = -a\cos x - b\sin x.
Agora aplicamos o operador linear L[y]=y''-15y'+50y:
L[y_{p}^{(\text{trig})}] = (-a\cos x - b\sin x) -15(-a\sin x + b\cos x) +50(a\cos x + b\sin x).
Agrupando os coeficientes de \cos x e \sin x:
L[y_{p}^{(\text{trig})}] = (49a-15b)\cos x + (15a+49b)\sin x.
Queremos que isto seja igual a -127\cos x +765\sin x. Então formamos o sistema linear para a,b:
\begin{cases} 49a-15b = -127,\\[4pt] 15a+49b = 765. \end{cases}
Resolvendo: calculamos o determinante da matriz dos coeficientes
\Delta = 49\cdot49 - (-15)\cdot15 = 2401 +225 = 2626.
Determinantes para a\] e \(b:
\Delta_{a} = \begin{vmatrix} -127 & -15 \\[2pt] 765 & 49 \end{vmatrix} = -127\cdot49 -(-15)\cdot765 = -6223 +11475 = 5252,
\Delta_{b} = \begin{vmatrix} 49 & -127 \\[2pt] 15 & 765 \end{vmatrix} = 49\cdot765 -15\cdot(-127) = 37485 +1905 = 39390.
Logo
a=\frac{\Delta_{a}}{\Delta}=\frac{5252}{2626}=2,\qquad b=\frac{\Delta_{b}}{\Delta}=\frac{39390}{2626}=15.
Portanto a solução particular para a parte trigonométrica é
y_{p}^{(\text{trig})}=2\cos x +15\sin x.]

Passo 5

Parte polinomial: o termo forçante é 50x^{2}+120x+507, um polinômio de grau 2. Para operadores com coeficientes constantes, tentamos um polinômio do mesmo grau:
y_{p}^{(\text{pol})}=Ax^{2}+Bx+C,
com A,B,C constantes a determinar. (Não há ressonância com raízes zero do polinômio característico, pois r=0 não é raiz da característica; portanto não precisamos multiplicar por x.)
Calculemos derivadas:
y_{p}^{(\text{pol})'} = 2Ax + B,\qquad y_{p}^{(\text{pol})''}=2A.
Aplicando o operador:
L[y_{p}^{(\text{pol})}] = 2A -15(2Ax+B) +50(Ax^{2}+Bx+C).
Expandindo e agrupando por potências de x:
L[y_{p}^{(\text{pol})}] = 50A x^{2} +(-30A+50B)x + (2A-15B+50C).
Queremos que isto seja igual a 50x^{2}+120x+507. Igualando coeficientes potências por potência, obtemos o sistema:
\begin{cases} 50A = 50,\\[4pt] -30A+50B = 120,\\[4pt] 2A-15B+50C = 507. \end{cases}
Resolve-se facilmente:
A=1.
Substituindo em segunda equação:
-30\cdot1 +50B =120 \implies 50B =150 \implies B=3.
Na terceira:
2\cdot1 -15\cdot3 +50C =507 \implies 2 -45 +50C =507 \implies -43 +50C =507 \implies 50C =550 \implies C=11.
Portanto
y_{p}^{(\text{pol})}=x^{2}+3x+11.]

Passo 6

A solução particular total é a soma das duas partes:
y_{p}(x)=y_{p}^{(\text{trig})}+y_{p}^{(\text{pol})}=2\cos x +15\sin x + x^{2}+3x+11.
Como o problema é linear, a solução geral da equação completa é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{10x}+C_{2}e^{5x}+x^{2}+3x+11+2\cos x +15\sin x.

Passo 7

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar [C_{1}) e C_{2}.
Calcule y(0). Note que \cos 0=1, \sin 0=0, e^{0}=1:
y(0)=C_{1}+C_{2}+0+0+11+2\cdot1+15\cdot0 = C_{1}+C_{2}+13.
Pela condição y(0)=18 temos
C_{1}+C_{2}+13=18 \implies C_{1}+C_{2}=5.
Agora calcule y'(x). Derivando a expressão geral:
y'(x)=10C_{1}e^{10x}+5C_{2}e^{5x}+2x+3 -2\sin x +15\cos x.
Avalie em x=0:
y'(0)=10C_{1}+5C_{2}+0+3 -2\cdot0 +15\cdot1 =10C_{1}+5C_{2}+18.
Pela condição y'(0)=58 obtemos
10C_{1}+5C_{2}+18=58 \implies 10C_{1}+5C_{2}=40.
Dividindo por 5:
2C_{1}+C_{2}=8.
Temos o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=5,\\[4pt] 2C_{1}+C_{2}=8. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2C_{1}+C_{2})-(C_{1}+C_{2})=8-5 \implies C_{1}=3.
Então (C_{2}=5-C_{1}=5-3=2].]

Passo 8

Encontramos as constantes: C_{1}=3 e C_{2}=2. Não vou repetir a solução final inteira aqui (a resposta final aparece só na seção solicitada).

Resposta

y(x)=3e^{10x}+2e^{5x}+x^{2}+3x+11+2\cos x+15\sin x

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