O que é pedido: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro passo técnico: resolver a equação homogênea associada para obter a solução geral da parte homogênea.
A equação homogênea é
y''-15y'+50y=0.
Assume-se solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-15r+50=0.
Vamos resolvê-la: o discriminante é
\Delta = (-15)^{2}-4\cdot1\cdot50 =225-200=25.
Portanto as raízes são
r=\frac{15\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{15\pm5}{2}.
Isso dá r_{1}=10 e r_{2}=5. Como são raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{10x}+C_{2}e^{5x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitárias a determinar pelas condições iniciais.
Explicação curta: escolhemos e^{rx} porque para coeficientes constantes a equação reduz a um polinômio em r. A solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais associadas às raízes.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação completa. O lado direito é soma de duas partes: uma combinação linear de \cos x e \sin x, e um polinômio quadrático em x. Como o operador é linear, podemos procurar y_{p} como soma das soluções particulares para cada parte:
y_{p}=y_{p}^{(\text{trig})}+y_{p}^{(\text{pol})}.
Vou tratar cada parte separadamente.
Passo 4
Parte trigonométrica: o termo forçante é -127\cos x+765\sin x\). Pela técnica dos coeficientes não determinados, para uma forçante \(A\cos x + B\sin x\) tentamos um \(y\) da forma
\[y_{p}^{(\text{trig})}=a\cos x + b\sin x,
onde a e b são constantes a determinar. (Motivo: derivadas de \cos e \sin produzem combinações de \cos e \sin, então esse ansatz fecha.)
Calculemos y' e y'' para esse ansatz:
y_{p}^{(\text{trig})'} = -a\sin x + b\cos x,
y_{p}^{(\text{trig})''} = -a\cos x - b\sin x.
Agora aplicamos o operador linear L[y]=y''-15y'+50y:
L[y_{p}^{(\text{trig})}] = (-a\cos x - b\sin x) -15(-a\sin x + b\cos x) +50(a\cos x + b\sin x).
Agrupando os coeficientes de \cos x e \sin x:
L[y_{p}^{(\text{trig})}] = (49a-15b)\cos x + (15a+49b)\sin x.
Queremos que isto seja igual a -127\cos x +765\sin x. Então formamos o sistema linear para a,b:
Portanto a solução particular para a parte trigonométrica é
y_{p}^{(\text{trig})}=2\cos x +15\sin x.]
Passo 5
Parte polinomial: o termo forçante é 50x^{2}+120x+507, um polinômio de grau 2. Para operadores com coeficientes constantes, tentamos um polinômio do mesmo grau:
y_{p}^{(\text{pol})}=Ax^{2}+Bx+C,
com A,B,C constantes a determinar. (Não há ressonância com raízes zero do polinômio característico, pois r=0 não é raiz da característica; portanto não precisamos multiplicar por x.)