Dado o vetor inicial x^{(0)}=(-1,1)^{T}, aplicando o método das potências, encontre as aproximações \lambda^{(k)} e x^{(k)}, até a iteração k=4, para o autovalor dominante \lambda_{1} e o respectivo autovetor v^{(1)} da matriz A.
e o vetor inicial \,x^{(0)} = (-1,\,1)^{T}. Pede-se aplicar o método das potências e apresentar, para o autovalor dominante \lambda_{1} e seu autovetor associado, as aproximações \lambda^{(k)} e x^{(k)} até a iteração k=4.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz A e o vetor inicial x^{(0)} estão dados explicitamente.
Deve-se usar o método das potências e fornecer as sequências \lambda^{(k)} e x^{(k)} para k=1,2,3,4 (partindo de x^{(0)}).
Não há outras restrições explícitas sobre o tipo de normalização; tomarei a normalização mais usada na prática (normalização pela norma infinita / maior valor absoluto) e explicarei por quê no passo seguinte.]
Passo 2
Explicando didaticamente o método das potências (versão usada aqui) — ideia e fórmulas:
Objetivo: a cada iteração aproximar o autovetor associado ao autovalor de maior módulo (o dominante). Se A tem um autovalor dominante \lambda_1 simples, vectores iterados por A tendem à direção do autovetor correspondente.
Fórmulas da iteração que vou aplicar:y^{(k)} = A\,x^{(k-1)},
onde \| \cdot \|_{\infty} é a norma infinita (maior valor absoluto entre as componentes). Explicando cada símbolo:
x^{(k)} é o vetor aproximado na iteração k (normalizado de forma que a maior componente em valor absoluto vale 1).
y^{(k)} é o produto A x^{(k-1)} antes da normalização.
\lambda^{(k)} é o fator de escala escolhido como a maior componente em magnitude de y^{(k)}. Esse fator tende ao autovalor dominante (em módulo) quando x^{(0)} tem componente na direção do autovetor dominante.
Por que essa normalização? Ela evita estouro/underflow numérico e fornece uma estimativa simples do autovalor dominante: se x^{(k-1)} estiver próximo de um autovetor unitário, então y^{(k)}\approx\lambda_1 x^{(k-1)} e a componente dominante de y^{(k)} será aproximadamente \lambda_1.
Observação prática: o vetor inicial x^{(0)}=(-1,1)^{T} já tem \|x^{(0)}\|_{\infty}=1, então está pronto para começar sem normalização prévia.
Agora aplico essas fórmulas passo a passo até k=4. Em cada iteração mostro os cálculos exatos em frações e uma aproximação decimal para dar intuição.
Observação final rápida (motivacional): as estimativas \lambda^{(k)} estão se aproximando de um valor perto de 3 e os vectores normalizados tendem à direção do autovetor associado (que, resolvendo (A-3I)v=0, é proporcional a (3,1)^{T}). Isso confirma que o método está convergindo para o autovalor dominante.]