Considere a matriz
A=\left(\begin{array}{cc} 7 & -12 \\\\ 2 & -3 \end{array}\right)
Dado o vetor inicial x^{(0)}=(-1,1)^{T}, aplicando o método das potências, encontre as aproximações \lambda^{(k)} e x^{(k)}, até a iteração k=4, para o autovalor dominante \lambda_{1} e o respectivo autovetor v^{(1)} da matriz A.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}7 & -12 \\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}
e o vetor inicial \,x^{(0)} = (-1,\,1)^{T}. Pede-se aplicar o método das potências e apresentar, para o autovalor dominante \lambda_{1} e seu autovetor associado, as aproximações \lambda^{(k)} e x^{(k)} até a iteração k=4.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz A e o vetor inicial x^{(0)} estão dados explicitamente.
  • Deve-se usar o método das potências e fornecer as sequências \lambda^{(k)} e x^{(k)} para k=1,2,3,4 (partindo de x^{(0)}).
  • Não há outras restrições explícitas sobre o tipo de normalização; tomarei a normalização mais usada na prática (normalização pela norma infinita / maior valor absoluto) e explicarei por quê no passo seguinte.]

Passo 2

Explicando didaticamente o método das potências (versão usada aqui) — ideia e fórmulas:
  • Objetivo: a cada iteração aproximar o autovetor associado ao autovalor de maior módulo (o dominante). Se A tem um autovalor dominante \lambda_1 simples, vectores iterados por A tendem à direção do autovetor correspondente.
  • Fórmulas da iteração que vou aplicar: y^{(k)} = A\,x^{(k-1)},
\lambda^{(k)} = \|y^{(k)}\|_{\infty} = \max_i |y^{(k)}_i|,
x^{(k)} = \frac{y^{(k)}}{\lambda^{(k)}},
onde \| \cdot \|_{\infty} é a norma infinita (maior valor absoluto entre as componentes). Explicando cada símbolo:
  • x^{(k)} é o vetor aproximado na iteração k (normalizado de forma que a maior componente em valor absoluto vale 1).
  • y^{(k)} é o produto A x^{(k-1)} antes da normalização.
  • \lambda^{(k)} é o fator de escala escolhido como a maior componente em magnitude de y^{(k)}. Esse fator tende ao autovalor dominante (em módulo) quando x^{(0)} tem componente na direção do autovetor dominante.
  • Por que essa normalização? Ela evita estouro/underflow numérico e fornece uma estimativa simples do autovalor dominante: se x^{(k-1)} estiver próximo de um autovetor unitário, então y^{(k)}\approx\lambda_1 x^{(k-1)} e a componente dominante de y^{(k)} será aproximadamente \lambda_1.
  • Observação prática: o vetor inicial x^{(0)}=(-1,1)^{T} já tem \|x^{(0)}\|_{\infty}=1, então está pronto para começar sem normalização prévia.
Agora aplico essas fórmulas passo a passo até k=4. Em cada iteração mostro os cálculos exatos em frações e uma aproximação decimal para dar intuição.

Passo 3

Iteração k=1.
Calcule y^{(1)}=A\,x^{(0)}:
y^{(1)}=A\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7\cdot(-1)+(-12)\cdot1\\[2pt]2\cdot(-1)+(-3)\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-19\\[2pt]-5\end{pmatrix}.
A maior componente em valor absoluto é \lambda^{(1)}=\|y^{(1)}\|_{\infty}=19.
Normalizando:
x^{(1)}=\frac{y^{(1)}}{\lambda^{(1)}}=\begin{pmatrix}-19/19\\[2pt]-5/19\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-5/19\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-0{,}263157895\end{pmatrix}.]

Passo 4

Iteração k=2.
Calcule y^{(2)}=A\,x^{(1)}:
y^{(2)}=A\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-5/19\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7\cdot(-1)+(-12)\cdot(-5/19)\\[2pt]2\cdot(-1)+(-3)\cdot(-5/19)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-73/19\\[2pt]-23/19\end{pmatrix}.
A maior componente em valor absoluto é \lambda^{(2)}=\|y^{(2)}\|_{\infty}=73/19\approx3{,}842105263.
Normalizando:
x^{(2)}=\frac{y^{(2)}}{\lambda^{(2)}}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-23/73\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-0{,}315068493\end{pmatrix}.]

Passo 5

Iteração k=3.
Calcule y^{(3)}=A\,x^{(2)}:
y^{(3)}=A\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-23/73\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7\cdot(-1)+(-12)\cdot(-23/73)\\[2pt]2\cdot(-1)+(-3)\cdot(-23/73)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-235/73\\[2pt]-77/73\end{pmatrix}.
A maior componente em valor absoluto é \lambda^{(3)}=\|y^{(3)}\|_{\infty}=235/73\approx3{,}219178082.
Normalizando:
x^{(3)}=\frac{y^{(3)}}{\lambda^{(3)}}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-77/235\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-0{,}327659574\end{pmatrix}.]

Passo 6

Iteração k=4.
Calcule y^{(4)}=A\,x^{(3)}:
y^{(4)}=A\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-77/235\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7\cdot(-1)+(-12)\cdot(-77/235)\\[2pt]2\cdot(-1)+(-3)\cdot(-77/235)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-721/235\\[2pt]-239/235\end{pmatrix}.
A maior componente em valor absoluto é \lambda^{(4)}=\|y^{(4)}\|_{\infty}=721/235\approx3{,}067021277.
Normalizando:
x^{(4)}=\frac{y^{(4)}}{\lambda^{(4)}}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-239/721\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-0{,}331486260\end{pmatrix}.
Observação final rápida (motivacional): as estimativas \lambda^{(k)} estão se aproximando de um valor perto de 3 e os vectores normalizados tendem à direção do autovetor associado (que, resolvendo (A-3I)v=0, é proporcional a (3,1)^{T}). Isso confirma que o método está convergindo para o autovalor dominante.]

Resposta

\lambda^{(1)}=19,\quad x^{(1)}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-5/19\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-0{,}263157895\end{pmatrix}
\lambda^{(2)}=\dfrac{73}{19}\approx3{,}842105263,\quad x^{(2)}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-23/73\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-0{,}315068493\end{pmatrix}
\lambda^{(3)}=\dfrac{235}{73}\approx3{,}219178082,\quad x^{(3)}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-77/235\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-0{,}327659574\end{pmatrix}
\lambda^{(4)}=\dfrac{721}{235}\approx3{,}067021277,\quad x^{(4)}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-239/721\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-0{,}331486260\end{pmatrix}]

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