Resolva o PVI
em que
e
e
uma função qualquer.
Passo 1
Resumindo o enunciado, queremos resolver o problema de valor inicial
com
onde
é uma função qualquer. O conteúdo aqui é EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo genérico. Vamos obter a solução geral como
sendo
a solução da homogênea e
uma particular, que encontraremos por convolução (função de Green).
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
A equação característica é
com raiz dupla
. Logo
Passo 3
Para a solução particular usamos a resposta ao impulso (função de Green)
de modo que
Assim a solução geral é
Passo 4
Agora impondo as condições iniciais:
- Em
, - Derivando
e avaliando em , a parte da integral não contribui em , então e em obtém-se