Resolva o PVI y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=f(t) em que y(0)=2 e y^{\prime}(0)=-3 e f(t) uma função qualquer.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 4y = f(t),
com
y(0)=2,\qquad y'(0)=-3,
onde f(t) é uma função qualquer. O conteúdo aqui é EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo genérico. Vamos obter a solução geral como
y(t) = y_h(t) + y_p(t),
sendo y_h a solução da homogênea e y_p uma particular, que encontraremos por convolução (função de Green).

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
y'' + 4y' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0
com raiz dupla r=-2. Logo
y_h(t) = (C_1 + C_2\,t)\,e^{-2t}.

Passo 3

Para a solução particular usamos a resposta ao impulso (função de Green)
g(t) = t\,e^{-2t},\quad t\ge0,
de modo que
y_p(t) = \int_{0}^{t} g(t-s)\,f(s)\,ds = \int_{0}^{t} (t-s)\,e^{-2(t-s)}\,f(s)\,ds.
Assim a solução geral é
y(t) = (C_1 + C_2\,t)\,e^{-2t} + \int_{0}^{t} (t-s)\,e^{-2(t-s)}\,f(s)\,ds.

Passo 4

Agora impondo as condições iniciais:
  • Em t=0, y(0) = C_1 = 2.
  • Derivando y e avaliando em t=0, a parte da integral não contribui em t=0, então y'(t) = C_2\,e^{-2t} -2(C_1 + C_2\,t)e^{-2t} + \bigl[\dots\bigr]_{\text{integral}},e em t=0 obtém-se y'(0) = C_2 - 2C_1 = -3 \quad\Longrightarrow\quad C_2 - 2\cdot2 = -3 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 1.

Resposta

y(t) = (2 + t)\,e^{-2t} + \int_{0}^{t} (t - s)\,e^{-2(t - s)}\,f(s)\,ds.

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