Resolva os PVI’s
y^{\prime \prime}+y^{\prime}=u_{1}(t)+\delta(t-2), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial com impulso e degrau:
y''+y' = u_{1}(t) + \delta(t-2), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=1.
Aqui vamos usar a transformada de Laplace para equações com distribuições: \mathcal L\{\delta(t-a)\}=e^{-as} e \mathcal L\{u_{a}(t)\}=e^{-as}/s.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados:
\mathcal L\{y''\} + \mathcal L\{y'\} = \mathcal L\{u_{1}(t)\} + \mathcal L\{\delta(t-2)\}.
Como y(0)=0 e y'(0)=1, temos
(s^2Y(s) -1) + (sY(s) -0) = \frac{e^{-s}}{s} + e^{-2s}.
Logo
Y(s)\,(s^2+s) = 1 + \frac{e^{-s}}{s} + e^{-2s}.

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s) = \frac{1}{s(s+1)}\Bigl(1+\frac{e^{-s}}{s}+e^{-2s}\Bigr) = \Bigl(\frac1s-\frac1{s+1}\Bigr)\Bigl(1+\frac{e^{-s}}{s}+e^{-2s}\Bigr).
Expandindo:
Y(s) = \frac1s-\frac1{s+1} +\frac{e^{-s}}{s^2} -\frac{e^{-s}}{s(s+1)} +\frac{e^{-2s}}{s} -\frac{e^{-2s}}{s+1}.

Passo 4

Agora fazemos a antitransformada de cada termo:
  1. \displaystyle \frac1s\to1, \displaystyle -\frac1{s+1}\to -e^{-t}.
  2. \displaystyle \frac{e^{-s}}{s^2}\to (t-1)\,u_{1}(t).
  3. \displaystyle -\frac{e^{-s}}{s(s+1)} é o atraso de 1-e^{-t}, logo \to -(1-e^{-(t-1)})\,u_{1}(t).
  4. \displaystyle \frac{e^{-2s}}{s}\to u_{2}(t).
  5. \displaystyle -\frac{e^{-2s}}{s+1}\to -e^{-(t-2)}\,u_{2}(t).
Somando tudo,
y(t) = \underbrace{1 - e^{-t}}_{t<1} +\underbrace{\bigl[(t-1)-(1-e^{-(t-1)})\bigr]}_{1\le t<2} +\underbrace{\bigl[1-e^{-(t-2)}\bigr]}_{t\ge2},
mas é mais organizado em forma piecewise.

Passo 5

Organizando em três intervalos:
Para 0\le t<1:
y(t) = 1 - e^{-t}.
Para 1\le t<2:
y(t) = \bigl(1-e^{-t}\bigr) + \bigl[(t-1)-(1-e^{-(t-1)})\bigr] = (t-1) - e^{-t} + e^{-(t-1)}.
Para t\ge2:
y(t) = (t-1) - e^{-t} + e^{-(t-1)} + \bigl[1 - e^{-(t-2)}\bigr] = t - e^{-t} + e^{-(t-1)} - e^{-(t-2)}.

Resposta

Para 0\le t<1:
y(t) = 1 - e^{-t}.
Para 1\le t<2:
y(t) = (t-1) - e^{-t} + e^{-(t-1)}.
Para t\ge2:
y(t) = t - e^{-t} + e^{-(t-1)} - e^{-(t-2)}.

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