Resolva o PVI:
y^prime=raizyx ln x, com y(e)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI dado por y' = raizyxln x com condição inicial y(e)=1. O conteúdo é EDO de variáveis separáveis, e vamos precisar aplicar a técnica de separar as variáveis, integrar e depois usar a condição inicial para determinar a constante.

Passo 2

Começamos escrevendo a derivada como dydx = raizyxln x e separamos as variáveis: deixamos todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro. Assim, obtemos
1raizy,dy = 1xln x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo usamos integral y^-1/2dy = 2raizy+C1. Do lado direito fazemos a substituição u=ln x, du=dx/x, e obtemos integral du/u = ln|u|+C2. Somando as constantes em uma só, chamamos de C:
2raizy = ln|ln x| + C

Passo 4

Para encontrar C, aplicamos a condição inicial x=e, y(e)=1. Como ln e=1 e ln1=0, temos:
2raiz1 = 0 + C Rightarrow C=2

Passo 5

Substituindo C=2 e isolando raizy, obtemos
2raizy = ln|ln x| + 2
ou
raizy = 1 + tfrac12ln(ln x)
Como x>1, ln x>0 e podemos remover o valor absoluto. Por fim, elevamos ao quadrado para achar y:
y = l(1 + tfrac12ln(ln x)r)^2

Resposta

y(x) = l(1 + tfrac12ln(ln x)r)^2

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