Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A derivada é
. - A equação é válida para
(pois aparece divisão por ).
A tarefa é encontrar a solução geral, com a constante de integração.
Passo 2
Primeira simplificação algébrica para deixar a equação mais clara. Reescrevendo o lado direito:
Portanto a equação fica
Passo 3
Pensando em métodos: há duas abordagens simples aqui que costumam aparecer em provas —
- tratar como equação linear de primeira ordem e usar fator integrante; ou
- notar que o termo
sugere a substituição (ou seja, usar ), porque a equação envolve .
Vou escolher a substituição
. Motivo: é direta, reduz a equação a uma forma separável muito simples e envolve derivadas elementares que se fazem sem calculadora. Além disso é um passo padrão quando aparece
.
Passo 4
Fazer a substituição. Defina
Agora calcule a derivada
usando a regra do produto (derivada de
):
onde
. (Explicando: a derivada de
é
então
.)
Passo 5
Substitua
e
na equação original. Temos
Como
, o lado direito é
. Portanto
Passo 6
Simplifique a equação cancelando
dos dois lados:
Logo
Passo 7
Integre ambos os lados em relação a
. A integral de
é
. A integral de
é
. Assim
onde
é constante arbitrária de integração. (Observação sobre o valor absoluto:
, válido para
.)
Passo 8
Volte à variável
usando
:
Distribuindo, pode-se escrever
Aqui
é a constante arbitrária real.
Passo 9
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule a derivada da solução proposta
Calcule também
. Os dois lados coincidem, logo a solução está correta.