Resolva:
y^{\prime}=\frac{x+y}{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y^{\prime}=\frac{x+y}{x}.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada é \;y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação é válida para x\neq0 (pois aparece divisão por x).
    A tarefa é encontrar a solução geral y(x), com a constante de integração.

Passo 2

Primeira simplificação algébrica para deixar a equação mais clara. Reescrevendo o lado direito:
\frac{x+y}{x}= \frac{x}{x}+\frac{y}{x}=1+\frac{y}{x}.
Portanto a equação fica
y^{\prime}=1+\frac{y}{x}.

Passo 3

Pensando em métodos: há duas abordagens simples aqui que costumam aparecer em provas —
  • tratar como equação linear de primeira ordem e usar fator integrante; ou
  • notar que o termo \dfrac{y}{x} sugere a substituição y=xv (ou seja, usar v=\dfrac{y}{x}), porque a equação envolve y/x.
Vou escolher a substituição y=xv. Motivo: é direta, reduz a equação a uma forma separável muito simples e envolve derivadas elementares que se fazem sem calculadora. Além disso é um passo padrão quando aparece y/x.

Passo 4

Fazer a substituição. Defina
v(x)=\frac{y(x)}{x}\quad\Longrightarrow\quad y(x)=x\,v(x).
Agora calcule a derivada y^{\prime} usando a regra do produto (derivada de xv(x)):
y^{\prime}=v + x\,v^{\prime},
onde v^{\prime}=\dfrac{dv}{dx}. (Explicando: a derivada de x é 1 então (xv)^{\prime}=1\cdot v + x\cdot v^{\prime}.)

Passo 5

Substitua y e y^{\prime} na equação original. Temos
v + x\,v^{\prime}=1+\frac{y}{x}.
Como y/x=v, o lado direito é 1+v. Portanto
v + x\,v^{\prime}=1+v.

Passo 6

Simplifique a equação cancelando v dos dois lados:
x\,v^{\prime}=1.
Logo
v^{\prime}=\frac{1}{x}.

Passo 7

Integre ambos os lados em relação a x. A integral de v^{\prime} é v. A integral de 1/x é \ln|x|. Assim
v=\ln|x|+C,
onde C é constante arbitrária de integração. (Observação sobre o valor absoluto: \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C, válido para x\neq0.)

Passo 8

Volte à variável y usando y=xv:
y=x\left(\ln|x|+C\right).
Distribuindo, pode-se escrever
y=x\ln|x|+C x.
Aqui C é a constante arbitrária real.

Passo 9

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule a derivada da solução proposta
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln|x|+Cx\bigr)=\ln|x|+1+C.
Calcule também \dfrac{x+y}{x}=1+\dfrac{y}{x}=1+\ln|x|+C. Os dois lados coincidem, logo a solução está correta.

Resposta

y(x)=x\ln|x|+C x,\qquad C\in\mathbb{R}.

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