Resolva os PVIs:
ly^prime(t)-4[(y(t))^2+1] equiv 0, y(pi / 4)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'(t)-4l[(y(t))^2+1r]=0,
com a condição y(pi/4)=1.
O conteúdo aqui é equação diferencial ordinária de variáveis separáveis: vamos escrever y' como dydt e separar as variáveis y e t.

Passo 2

Reescrevendo
y'(t)=4l(y(t)^2+1r)
fica
dydt=4(y^2+1)
Agora separamos as variáveis y e t:
dyy^2+1=4,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados. O lado esquerdo é a primitiva de 1y^2+1, que é arctan(y), e o direito é 4t mais constante:
integral dyy^2+1 = integral 4,dt Longrightarrow arctan(y)=4t + C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(pi/4)=1. Substituindo t=pi/4 e y=1 em arctan(y)=4t+C:
arctan(1)=pi4=4cdotpi4+C Longrightarrow pi4=pi + C Longrightarrow C=-3pi4

Passo 5

Substituindo C na expressão geral obtemos
arctan(y)=4t-3pi4 Longrightarrow y(t)=tan!l(4t-3pi4r)

Resposta

y(t)=tan!l(4t-tfrac3pi4r)

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