Resolva os PVIs:
ly^prime(t)+2 y(t) equiv 1, y(0)=52

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'(t) + 2,y(t) = 1, y(0)=52
Esse é um ODE linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Escrevendo no formato padrão y'+P(t),y=Q(t), temos
P(t)=2, Q(t)=1
O fator integrante é
mu(t) = e^integral P(t),dt = e^integral 2,dt = e^2t

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t), obtemos
e^2ty' + 2e^2ty = e^2t Longrightarrow ddtl(y,e^2tr) = e^2t

Passo 4

Integramos ambos os lados em t:
y,e^2t = integral e^2t,dt = 12e^2t + C,
onde C é constante de integração. Logo a solução geral é
y(t) = 12 + C,e^-2t

Passo 5

Usando a condição inicial y(0)=tfrac52:
y(0) = 12 + C = 52 Longrightarrow C = 2
Portanto a solução do PVI é
y(t) = 12 + 2,e^-2t

Resposta

y(t) = 2,e^-2t + 12

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