Resolva os PVIs:
lt+y(t) y^prime(t) equiv 0, y(0)=4

Passo 1

O enunciado fornece o PVI
t + y(t),y'(t) equiv 0,
com condição inicial y(0)=4. Trata-se de uma equação de primeira ordem e variável separável: vamos reescrever para separar y e t.

Passo 2

Reescrevendo a equação diferencial temos
y,dydt = -,t
Agora separamos variáveis, passando dt para o lado direito e y para o lado esquerdo:
y,dy = -,t,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y,dy = -integral t,dt
que resulta em
y^22 = -t^22 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Multiplicando por 2 e isolando y^2, obtemos a solução geral
y^2 = -,t^2 + C',
com C'=2C. Usando a condição inicial y(0)=4 temos
4^2 = -,0^2 + C' Longrightarrow C' = 16
Logo
y^2 = 16 - t^2

Passo 5

Da relação y^2 = 16 - t^2 vêm duas raízes y = pmraiz16 - t^2. Como y(0)=4>0 escolhemos o ramo positivo. A solução válida no intervalo em que o radical é real ( |t|<=4) é
y(t) = raiz16 - t^2

Resposta

y(t) = raiz16 - t^2, |t|<=4

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