Vimos que a separação da equação
exige divisão por
, e isso pode disfarçar o fato de que as raízes da equação
na realidade são soluções constantes para a equação diferencial.
(a) Para explorar isso ainda mais, separe a equação
para derivar a solução
.
(b) Mostre que
satisfaz a equação original
(c) Mostre que não existe escolha da constante
que fará a solução no item (a) gerar a solução
. Assim, perdemos a solução
quando dividirmos por
.
(a) Para explorar isso ainda mais, separe a equação
(b) Mostre que
(c) Mostre que não existe escolha da constante
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial separável
e pede que, ao separar as variáveis e integrar, obtenhamos a família de soluções
. Depois devemos verificar a solução constante
e mostrar que ela não aparece na família obtida por separação.
Passo 2
Separe as variáveis:
Agora integre ambos os lados:
Pela regra de potência,
então, com
,
Dividindo por 3 e renomeando
,
Elevando ao cubo,
logo
Passo 3
Verifique
. Se
para todo
, então
. No lado direito da ODE,
logo a igualdade
vale e
é solução.
Passo 4
Para obter
da família em (a), precisaríamos de
para todo
. Isso exige
o que é impossível pois a expressão
não é a polinômio zero para toda
. Portanto não há escolha de
que recupere
.
Resposta
(a)
.
(b) satisfaz
.
(c) Não existe valor de que torne
identicamente zero, então
some ao dividir por
.
(b)
(c) Não existe valor de