Vimos que a separação da equação d y / d x=g(x) p(y) exige divisão por p(y), e isso pode disfarçar o fato de que as raízes da equação p(y)=0 na realidade são soluções constantes para a equação diferencial.
(a) Para explorar isso ainda mais, separe a equação
d yd x=(x-3)(y+1)^2 / 3
para derivar a solução y=-1+(x^2 / 6-x+C)^3.
(b) Mostre que y equiv-1 satisfaz a equação original d y / d x=(x-3)(y+1)^2 / 3
(c) Mostre que não existe escolha da constante C que fará a solução no item (a) gerar a solução y equiv-1. Assim, perdemos a solução y equiv-1 quando dividirmos por (y+1)^2 / 3.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial separável
dydx = (x-3),(y+1)^23
e pede que, ao separar as variáveis e integrar, obtenhamos a família de soluções y=-1+l(tfracx^26-x+Cr)^3. Depois devemos verificar a solução constante yequiv-1 e mostrar que ela não aparece na família obtida por separação.

Passo 2

Separe as variáveis:
dy(y+1)^23 = (x-3),dx
Agora integre ambos os lados:
integral (y+1)^-23,dy = integral (x-3),dx
Pela regra de potência,
integral u^-23,du = u^13tfrac13 = 3,u^13,
então, com u=y+1,
3,(y+1)^13 = x^22 - 3x + C1
Dividindo por 3 e renomeando C = C1/3,
(y+1)^13 = x^26 - x + C
Elevando ao cubo,
y+1 = l(x^26 - x + Cr)^3,
logo
y = -1 + l(x^26 - x + Cr)^3

Passo 3

Verifique yequiv -1. Se y(x)=-1 para todo x, então tfracdydx=0. No lado direito da ODE,
(x-3),(y+1)^23 = (x-3)cdot 0^23 = 0,
logo a igualdade 0=0 vale e yequiv -1 é solução.

Passo 4

Para obter yequiv -1 da família em (a), precisaríamos de
-1 + l(tfracx^26-x+Cr)^3 = -1 Longrightarrow l(tfracx^26-x+Cr)^3 = 0
para todo x. Isso exige
x^26 - x + C = 0 forall x,
o que é impossível pois a expressão tfracx^26-x+C não é a polinômio zero para toda x. Portanto não há escolha de C que recupere yequiv -1.

Resposta

(a) y = -1 + l(tfracx^26-x+Cr)^3.
(b) yequiv -1 satisfaz tfracdydx=(x-3)(y+1)^2/3.
(c) Não existe valor de C que torne l(tfracx^26-x+Cr)^3 identicamente zero, então yequiv -1 some ao dividir por (y+1)^2/3.

Exercícios relacionados