Resolva os seguintes PVIs, os quais possuem uma condição extra sobre o domínio
lt y^prime(t)+2 y(t) equiv t^2+1, condição extra ao domínio: t>0, y(1)=1 çãí

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
t,y'(t)+2,y(t)=t^2+1,
com condição extra t>0 e y(1)=1. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para colocar em forma padrão dividimos por t (válido pois t>0):
y'(t)+2t,y(t)=t+1t

Passo 3

O fator integrante é
mu(t)=exp!l(integral2t,dtr)=exp(2ln t)=t^2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por t^2 obtemos
t^2y'(t)+2t,y(t)=t^3+t,
e o lado esquerdo é a derivada de t^2y(t). Logo
l(t^2y(t)r)'=t^3+t Longrightarrow t^2y(t)=integral!(t^3+t),dt=t^44+t^22+C
Assim
y(t)=t^24+12+Ct^2

Passo 5

Usando y(1)=1:
1=14+12+C Rightarrow C=14

Resposta

boxedy(t)=t^24+12+14t^2, t>0

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