Resolva os PVIs:
2 y^prime prime+5 y^prime+3 y=0 ; y(0)=10-9 ; y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2,y''+5,y'+3,y=0
sujeita às condições
y(0)=10-9, y'(0)=0
O método é: (1) montar a equação característica, (2) encontrar as raízes, (3) escrever a solução geral, (4) usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Vamos montar a equação característica trocando ymapsto e^r x. Isso dá
2,r^2+5,r+3=0
Para resolver, calculamos o discriminante De<a=5^2-4cdot2cdot3=25-24=1, logo as raízes são
r=-5pmraiz12cdot2 =-5pm14,
isto é
r1=-tfrac64=-tfrac32, r2=-tfrac44=-1

Passo 3

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral é
y(x)=C1,e^r1 x+C2,e^r2 x =C1,e^-,tfrac32x+C2,e^-,x

Passo 4

Calculamos a derivada
y'(x)=-tfrac32,C1,e^-,tfrac32x-C2,e^-,x
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, y(0)=10-9=1 implica
C1+C2=1
Em seguida, y'(0)=0 implica
-tfrac32,C1 - C2=0

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1+C2=1, -tfrac32,C1 - C2=0,
da segunda equação isolamos C2=-tfrac32,C1. Substituindo na primeira,
C1 +l(-tfrac32,C1r)=1 Longrightarrow -tfrac12,C1=1 Longrightarrow C1=-2
Logo C2= -tfrac32cdot(-2)=3.

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos
y(x)=-2,e^-,tfrac32x+3,e^-,x

Resposta

y(x)=-2,e^-tfrac32x+3,e^-x

Exercícios relacionados