Resolva os PVIs abaixo:
x^2 y^prime prime-(x^2+2 x) y^prime+(x+2) y=x^2-x^3 ln x, sendo y(1)=0 e y^prime(1)=0, e sabendo que y1(x)=x é solução da equação homogênea associada;

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
x^2y'' - (x^2 + 2x)y' + (x+2)y = x^2 - x^3ln x, y(1)=0,;y'(1)=0,
sendo conhecida uma solução da homogênea associada y1(x)=x. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem não-homogênea. Vamos:
  1. Encontrar a segunda solução da homogênea por redução de ordem.
  2. Escrever a solução geral da homogênea.
  3. Obter uma particular por var. de parâmetros.
  4. Ajustar constantes pelos C.I.

Passo 2

Dividindo por x^2 a equação homogênea fica
y'' - l(1+tfrac2xr)y' + tfracx+2x^2y = 0
Temos P(x) = -1 -2/x. Pela fórmula de redução de ordem, se y1=x então
u'(x) = e^-integral P,dxy1^2 = e^integral(1+2/x),dxx^2 = e^xx^2x^2=e^x,
logo u(x)=e^x e
y2(x)=u(x),y1(x)=x e^x

Passo 3

A solução geral da homogênea é
yh(x)=C1,x + C2,x e^x

Passo 4

Para a particular usamos variação de parâmetros em forma padrão
y''+P,y'+Q,y = g(x), g(x)=x^2-x^3ln xx^2=1 - xln x
O Wronskiano é
W = x & x e^x1 & e^x(1+x) = x^2e^x
As fórmulas dão
u1' = -y2,gW = -x e^x(1 - xln x)x^2e^x = -1x + ln x,
u2' = y1,gW = x(1 - xln x)x^2e^x = 1 - xln xx e^x
Integramos:
u1(x)=integrall(-tfrac1x+ln xr)dx = xln x - x - ln x,
e, notando que
1 - xln xx e^x = -ddxl[e^-xln xr],
obtemos
u2(x)=e^-xln x
Assim
yp=u1y1+u2y2 =(xln x - x - ln x),x + (e^-xln x),(x e^x) = x^2ln x - x^2

Passo 5

A solução completa é
y(x)=C1x + C2x e^x + x^2ln x - x^2
Impondo y(1)=0 e y'(1)=0:
y(1)=C1+C2e - 1 = 0 Longrightarrow C1+C2e=1,
y'(x)=C1 + C2e^x(1+x) + 2xln x - x,
y'(1)=C1 + 2e,C2 -1=0 Longrightarrow C1+2e,C2=1
Subtraindo as duas equações surge e,C2=0, logo C2=0 e C1=1.

Resposta

boxedy(x)=x^2ln x - x^2 + x

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