Resolva os PVIs abaixo:
, sendo
e
, e sabendo que
é solução da equação homogênea associada;
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
sendo conhecida uma solução da homogênea associada
. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem não-homogênea. Vamos:
- Encontrar a segunda solução da homogênea por redução de ordem.
- Escrever a solução geral da homogênea.
- Obter uma particular por var. de parâmetros.
- Ajustar constantes pelos C.I.
Passo 2
Dividindo por
a equação homogênea fica
Temos
. Pela fórmula de redução de ordem, se
então
logo
e
Passo 3
A solução geral da homogênea é
Passo 4
Para a particular usamos variação de parâmetros em forma padrão
O Wronskiano é
As fórmulas dão
Integramos:
e, notando que
obtemos
Assim
Passo 5
A solução completa é
Impondo
y(1)=0 e
y'(1)=0 :
Subtraindo as duas equações surge
e,C2=0 , logo
C2=0 e
C1=1 .