Resolva os PVIs dados.
ly^prime prime-2 y^prime+y=0 y(0)=5 y^prime(0)=10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse PVI juntas! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - 2y' + y = 0 y(0) = 5 y'(0) = 10
Vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares homogêneas, encontrando as raízes da equação característica para achar a solução geral. Depois, aplicamos as condições iniciais para descobrir os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos formar a equação característica. Para a equação diferencial:
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é:
r^2 - 2r + 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r . A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 42 = 2 pm 02 = 1
Então, temos uma raiz dupla: r = 1 .

Passo 4

Quando temos raízes duplas na equação característica, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x)e^rx
Aqui, r = 1 , então:
y(x) = (C1 + C2 x)e^x

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2 .
Primeira condição: y(0) = 5 .
Substituindo x = 0 na solução geral:
y(0) = (C1 + C2 cdot 0)e^0 = C1 = 5
Então, C1 = 5 .

Passo 6

Segunda condição: y'(0) = 10 .
Primeiro, precisamos achar a derivada de y(x) :
y(x) = (5 + C2 x)e^x
Usando a regra do produto:
y'(x) = C2 e^x + (5 + C2 x)e^x = (5 + C2 + C2 x)e^x
Agora, substituindo x = 0 :
y'(0) = (5 + C2)e^0 = 5 + C2 = 10
Então, C2 = 5 .

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = (5 + 5x)e^x

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