Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem:
Isso significa que queremos encontrar uma função
que satisfaz essa equação e que, quando
, o valor de
é 0. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a gente conseguir separar as variáveis. A equação está na forma:
Aqui, temos
misturado com
na mesma equação. O objetivo é reorganizar tudo para que os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro. Isso facilita a integração de ambos os lados separadamente.
Passo 3
Vamos separar as variáveis. Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação por
e multiplicar por
:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável: o lado esquerdo tem
e o lado direito tem
. Isso permite que a gente integre cada lado separadamente.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Lado esquerdo: A integral de
é uma integral padrão que resulta em
.
Lado direito: A integral de
também é uma integral padrão que resulta em
.
Então, após a integração, temos:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar a constante
.
Substituindo
e
na equação:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial dada com a condição inicial é:
Para isolar
, aplicamos a tangente dos dois lados:
Então, a solução final é: