Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
d yd x=(y^2+1) cos x, com y(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem:
dydx = (y^2 + 1) cos x, com y(0) = 0
Isso significa que queremos encontrar uma função y(x) que satisfaz essa equação e que, quando x = 0 , o valor de y é 0. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a gente conseguir separar as variáveis. A equação está na forma:
dydx = (y^2 + 1) cos x
Aqui, temos y misturado com x na mesma equação. O objetivo é reorganizar tudo para que os termos com y fiquem de um lado e os termos com x fiquem do outro. Isso facilita a integração de ambos os lados separadamente.

Passo 3

Vamos separar as variáveis. Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação por y^2 + 1 e multiplicar por dx :
1y^2 + 1 , dy = cos x , dx
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável: o lado esquerdo tem y e o lado direito tem x . Isso permite que a gente integre cada lado separadamente.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral 1y^2 + 1 , dy = integral cos x , dx
Lado esquerdo: A integral de 1y^2 + 1 , dy é uma integral padrão que resulta em arctan(y) .
Lado direito: A integral de cos x , dx também é uma integral padrão que resulta em sin x .
Então, após a integração, temos:
arctan(y) = sin x + C
Onde C é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial y(0) = 0 para encontrar a constante C .
Substituindo x = 0 e y = 0 na equação:
arctan(0) = sin(0) + C
Sabemos que arctan(0) = 0 e sin(0) = 0 , então:
0 = 0 + C implies C = 0

Resposta

A solução da equação diferencial dada com a condição inicial é:
arctan(y) = sin x
Para isolar y , aplicamos a tangente dos dois lados:
y = tan(sin x)
Então, a solução final é:
y(x) = tan(sin x)

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