Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
d yd x=yx, com y(1)=2

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado:
dydx = yx, com y(1) = 2
Esse tipo de problema pertence ao estudo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente a equações de primeira ordem. Para resolver, vamos utilizar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a encontrar uma função que satisfaça tanto a equação diferencial quanto a condição inicial fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis y e x na equação. Isso significa reorganizar a equação de forma que todos os termos com y fiquem de um lado e os termos com x fiquem do outro:
dydx = yx
Podemos reescrever isso como:
dyy = dxx

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar uma relação entre y e x :
integral 1y , dy = integral 1x , dx
As integrais resultam em:
ln|y| = ln|x| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para eliminar os logaritmos, aplicamos a função exponencial em ambos os lados da equação:
e^ln|y| = e^ln|x| + C
Simplificando, obtemos:
y = e^C cdot x
Podemos simplificar e^C para uma nova constante K :
y = Kx

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial y(1) = 2 para encontrar o valor de K :
2 = K cdot 1 implies K = 2

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = 2x

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