Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado:
Esse tipo de problema pertence ao estudo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente a equações de primeira ordem. Para resolver, vamos utilizar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a encontrar uma função que satisfaça tanto a equação diferencial quanto a condição inicial fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
na equação. Isso significa reorganizar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar uma relação entre
e
:
As integrais resultam em:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para eliminar os logaritmos, aplicamos a função exponencial em ambos os lados da equação:
Simplificando, obtemos:
Podemos simplificar
para uma nova constante
:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: