Resolva os PVIs dados e determine o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
ly^prime+2 x y=x y(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y' + 2x,y = x, y(0) = -1,
que é uma equação linear de primeira ordem. Para resolver usamos o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = exp!l(integral 2x ,dxr) = exp(x^2)
Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
e^x^2y' + 2x,e^x^2y = x,e^x^2 Longrightarrow ddxl(y,e^x^2r) = x,e^x^2

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^x^2 = integral x,e^x^2,dx = 12,e^x^2 + C,
onde C é constante de integração. Logo a solução geral é
y = 12 + C,e^-x^2

Passo 4

Impondo a condição inicial y(0) = -1:
-1 = 12 + C,e^0 Longrightarrow C = -32
Assim a solução particular fica
y(x) = 12 - 32,e^-x^2

Passo 5

Como e^-x^2 está bem definido para todo xinR, a solução não apresenta singularidades e vale para todo o real. Portanto o maior intervalo de definição é
I = (-infty,infty)

Resposta

y(x) = 12 - 32,e^-x^2, I = (-infty,infty)

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