Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que relaciona a derivada de
em relação a
com uma expressão que envolve
e
. O objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e também passa pelo ponto
. Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica bem útil para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis
e
. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para isolar os termos que envolvem
de um lado e os que envolvem
do outro. Dividindo ambos os lados por
, fica:
Dessa forma, temos as variáveis separadas, facilitando a integração.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação. A integral do lado esquerdo envolve
e a do lado direito envolve
:
Simplificando, a integral do lado esquerdo é a mesma que
, que resulta em
. A integral do lado direito é
. Então temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos agora resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Para facilitar, reescrevemos isso como:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Multiplicando por -1:
Passo 5
Finalmente, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Exponenciando para eliminar o logaritmo:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: