Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
d yd x=e^x e^y, com y(0)=ln 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que relaciona a derivada de y em relação a x com uma expressão que envolve e^x e e^y . O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação e também passa pelo ponto y(0) = ln 2 . Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica bem útil para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis y e x . A equação dada é:
dydx = e^x e^y
Podemos reorganizar isso para isolar os termos que envolvem y de um lado e os que envolvem x do outro. Dividindo ambos os lados por e^y , fica:
dye^y = e^x dx
Dessa forma, temos as variáveis separadas, facilitando a integração.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação. A integral do lado esquerdo envolve y e a do lado direito envolve x :
integral 1e^y dy = integral e^x dx
Simplificando, a integral do lado esquerdo é a mesma que integral e^-y dy , que resulta em -e^-y . A integral do lado direito é e^x . Então temos:
- e^-y = e^x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Vamos agora resolver para y . Primeiro, isolamos e^-y :
e^-y = -e^x + C
Para facilitar, reescrevemos isso como:
e^-y = C - e^x
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para y :
- y = ln(C - e^x)
Multiplicando por -1:
y = -ln(C - e^x)

Passo 5

Finalmente, usamos a condição inicial y(0) = ln 2 para encontrar o valor de C . Substituindo x = 0 e y = ln 2 na equação:
ln 2 = -ln(C - e^0) Rightarrow ln 2 = -ln(C - 1)
Multiplicando ambos os lados por -1:
- ln 2 = ln(C - 1)
Exponenciando para eliminar o logaritmo:
e^-ln 2 = C - 1 Rightarrow 12 = C - 1 Rightarrow C = 32

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(x) = -ln(32 - e^x)

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