Seja D=(x, y): x^2+y^2<7 / 2 e seja f(x, y)=x^2 y^2-x^3-2 x+y^2.
Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela de fem D , se existirem.

Passo 1

O enunciado define o domínio aberto D=(x,y):x^2+y^2<7/2 e a função f(x,y)=x^2y^2-x^3-2x+y^2. O conteúdo principal é encontrar pontos críticos de uma função de duas variáveis e classificá-los usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2x y^2-3x^2-2 e partial fpartial y=2y(x^2+1).

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
nabla f=0. Da equação partial fpartial y=0 vem y=0. Substituindo em partial fpartial x=0 obtemos
-3x^2-2=0
que não tem solução real.

Passo 4

Como não existem soluções reais para o sistema nabla f=0 dentro de D, concluímos que não há pontos críticos em D. Portanto não existem máximos locais, mínimos locais nem pontos de sela no domínio aberto.

Resposta

A função não possui pontos críticos em D. Logo, não há máximos locais, mínimos locais nem pontos de sela.

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