Resolva os PVIs a seguir.
y^prime prime+2 y^prime-y=e^t, y(0)=1, y^prime(0)=2

Passo 1

A gente tem o problema inicial y'' + 2y' - y = e^t com y(0)=1 e y'(0)=2. É um PVI de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver vamos achar a solução geral homogênea, depois uma particular e, por fim, aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea y'' + 2y' - y = 0. Montamos a equação característica
r^2 + 2r - 1 = 0

Passo 3

Resolvendo dá
r = -1 pm raiz2

Passo 4

Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^(-1+raiz2)t + C2 e^(-1-raiz2)t

Passo 5

Para a solução particular, como o termo fonte é e^t, tentamos yp = A e^t. Daí
yp' = A e^t, yp'' = A e^t

Passo 6

Substituindo em y'' + 2y' - y = e^t
(A + 2A - A)e^t = 2A e^t = e^t

Passo 7

Logo 2A = 1 e A = tfrac12. Então
yp(t) = tfrac12 e^t

Passo 8

A solução geral é a soma homogênea e particular:
y(t) = C1 e^(-1+raiz2)t + C2 e^(-1-raiz2)t + tfrac12 e^t

Passo 9

Precisamos também de y'(t). Derivando:
y'(t) = C1(-1+raiz2)e^(-1+raiz2)t + C2(-1-raiz2)e^(-1-raiz2)t + tfrac12 e^t

Passo 10

Aplicando y(0)=1 e y'(0)=2 gera o sistema
C1 + C2 + tfrac12 = 1,C1(-1+raiz2) + C2(-1-raiz2) + tfrac12 = 2

Passo 11

Da primeira equação vem C1 + C2 = tfrac12. Da segunda C1(-1+raiz2) + C2(-1-raiz2) = tfrac32. Resolvendo, obtemos
C1 = 2raiz2 + 14, C2 = 1 - 2raiz24

Resposta

y(t) = 2raiz2+14 e^(-1+raiz2)t + 1-2raiz24 e^(-1-raiz2)t + 12 e^t

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