Resolva os PVIs a seguir.
Passo 1
O enunciado pede pra gente resolver o PVI
Temos a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo:
Temos a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo:
com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=1. Vamos precisar do método da equação característica para a parte homogênea e do método dos coeficientes a determinar para a parte particular.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
A equação característica é
Resolvendo:
Logo a solução geral da parte homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular do tipo
porque o termo forçante é
e
não coincide com as raízes
da homogênea. Calculamos:
Substituindo em
e coletando em
obtemos
e isso deve dar
. Assim
Logo
Passo 4
A solução geral do PVI é
Impondo as condições iniciais:
Para :
Para
Derivando:
Em
:
Passo 5
Portanto a solução do PVI é
Resposta
y(t)=\tfrac13e^{-t}\bigl(\sin2t+\sin t\bigr)