Resolva os PVIs a seguir.
y^prime prime+2 y^prime+5 y-e^-t sen t, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver o PVI
Temos a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo:
y'' + 2y' + 5y = e^-tsin t,
com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=1. Vamos precisar do método da equação característica para a parte homogênea e do método dos coeficientes a determinar para a parte particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y'' + 2y' + 5y = 0
A equação característica é
r^2 + 2r + 5 = 0
Resolvendo:
r = -2 pm raiz4 - 202 = -1 pm 2i
Logo a solução geral da parte homogênea é
yh(t) = e^-tl(C1cos 2t + C2sin 2tr)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular do tipo
yp(t) = e^-tl(Acos t + Bsin tr),
porque o termo forçante é e^-tsin t e -1 pm i não coincide com as raízes -1pm 2i da homogênea. Calculamos:
yp' = e^-tl((-A+B)cos t - (A+B)sin tr),
yp'' = e^-tl(-2Bcos t + 2Asin tr)
Substituindo em y''+2y'+5y e coletando em e^-t(cos t,sin t) obtemos
L[yp] = e^-tl(3Acos t + 3Bsin tr)
e isso deve dar e^-t(0cos t + 1sin t). Assim
3A = 0, 3B = 1 implies A=0,; B=tfrac13
Logo
yp(t) = tfrac13,e^-tsin t

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^-tl(C1cos 2t + C2sin 2tr) + tfrac13 e^-tsin t
Impondo as condições iniciais:
Para t=0:
y(0)=C1+0+0=0 implies C1=0
Derivando:
y'(t)=C2 e^-t(-sin2t+2cos2t)+e^-tl(tfrac13cos t-tfrac13sin tr)
Em t=0:
y'(0)=2C2+tfrac13=1 implies C2=tfrac13

Passo 5

Portanto a solução do PVI é
y(t)=e^-tl(tfrac13sin2tr)+tfrac13e^-tsin t =tfrac13e^-tl(sin2t+sin tr)

Resposta

y(t)=\tfrac13e^{-t}\bigl(\sin2t+\sin t\bigr)

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