Resolva os PVI’s usando o método das variáveis separáveis.
(a) ly^prime=x^2 y y(0)=7
(b) l-3 x^2 d x+(4 y-cos y) d y=0 y(0)=pi
(c) Crie um PVI com uma EDO de variáveis separáveis, , com solução prédeterminada por você, e o resolva.

Passo 1

O enunciado pede para resolver três problemas de valor inicial (PVI) usando o método de variáveis separáveis. Vamos precisar reconhecer que cada EDO pode ser escrita na forma
dydx=f(x),g(y),
separar as variáveis em lados opostos, integrar ambos os lados e depois aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Para o item (a) temos
dydx=x^2,y, y(0)=7
Separamos as variáveis:
dyy=x^2,dx
Integrando em bloco,
integral dyy=integral x^2,dx
resulta em
ln|y|=x^33+C.
Logo
y=C,e^x^3/3
Pela condição y(0)=7 vem C=7, produzindo
boxedy=7,e^x^3/3

Passo 3

Para o item (b) a equação está dada em diferencial total:
-3x^2,dx+(4y-cos y),dy=0, y(0)=pi
Reescrevemos como separável:
(4y-cos y),dy=3x^2,dx
Integrando em bloco,
integral(4y-cos y),dy=integral3x^2,dx
obtém-se
2y^2-sin y=x^3+C
Aplicando y(0)=pi 2pi^2=0+C, isto é C=2pi^2. Assim a solução implícita é
boxed2y^2-sin y=x^3+2pi^2

Passo 4

No item (c) criamos o PVI
dfracdydx=x,y^2, y(0)=1
Separamos as variáveis:
dyy^2=x,dx
Integrando em bloco,
integraldyy^2=integral x,dx
resulta em
-1y=x^22+C
Usando y(0)=1 temos -1=0+C, logo C=-1. Multiplicando por -1 vem
1y=1-x^22,
portanto
boxedy=11-tfracx^22, |x|<raiz2

Resposta

(a) y=7,e^x^3/3
(b) 2y^2-sin y=x^3+2pi^2
(c) Para o PVI dydx=x,y^2,;y(0)=1,
y=11-tfracx^22,;|x|<raiz2

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