Tente explicar as seguintes propriedades da ordem dos números reais: Sejam quaisquer
(d) Se
e
então
.
(d) Se
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados quaisquer
, se
então
O conteúdo aqui é a propriedade de multiplicação de desigualdades, em particular o fato de que multiplicar por um número negativo inverte o sentido da desigualdade.
Passo 2
Como
, definimos
Então
e, em particular,
.
Passo 3
Da hipótese
e sabendo que
, podemos multiplicar a desigualdade por
sem alterar o sentido. Logo,
Passo 4
Agora multiplicamos a desigualdade
por
. Como
, isso inverte o sentido da desigualdade:
Mas
e
. Portanto obtemos
como queríamos demonstrar.
Resposta
Ficou provado que, se
e
, então realmente
.