Tente explicar as seguintes propriedades da ordem dos números reais: Sejam quaisquer a, b, c in R
(d) Se c<0 e a <= b então a cdot c >= b cdot c.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados quaisquer a,b,cinR, se
c<0 e a <= b
então
acdot c >= bcdot c
O conteúdo aqui é a propriedade de multiplicação de desigualdades, em particular o fato de que multiplicar por um número negativo inverte o sentido da desigualdade.

Passo 2

Como c<0, definimos
d = -c
Então d>0 e, em particular, c = -d.

Passo 3

Da hipótese a <= b e sabendo que d>0, podemos multiplicar a desigualdade por d sem alterar o sentido. Logo,
a <= b Longrightarrow a,d <= b,d

Passo 4

Agora multiplicamos a desigualdade a,d <= b,d por -1. Como -1<0, isso inverte o sentido da desigualdade:
a,d <= b,d Longrightarrow -,a,d >= -,b,d
Mas -a,d = a(-d) = a,c e -b,d = b(-d) = b,c. Portanto obtemos
a,c >= b,c,
como queríamos demonstrar.

Resposta

Ficou provado que, se c<0 e a<= b, então realmente a,c>= b,c.

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