Resolva a questão 2, utilizando o método da transformada de Fourier.
Passo 1
Estamos resolvendo a equação de onda
em
,
, com condições de contorno
e iniciais
,
. Vamos usar séries de Fourier senoidais (equivalente à transformada de Fourier aqui).
Passo 2
Assumimos uma expansão em modos normais senoidais:
$$
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_n\cos(nt)+B_n\sin(nt)\bigr)\sin(nx). $$
Como , segue
. Restam os coeficientes
.
Como
Passo 3
Usando
, projetamos em
:
Passo 4
Definimos
. Escrevemos
e separamos
e
.
Após integrações por partes, obtém-se
Após integrações por partes, obtém-se
Passo 5
Substituindo em
:
Logo
quando
é par, e para
ímpar temos
.
Passo 6
Com isso, a solução final se escreve como a soma dos modos ímpares:
com
.