Resolva a questão 2, utilizando o método da transformada de Fourier.

Passo 1

Estamos resolvendo a equação de onda uxx=utt em 0, t>0, com condições de contorno u(0,t)=u(pi,t)=0 e iniciais u(x,0)=tfrac14 x(pi-x), ut(x,0)=0. Vamos usar séries de Fourier senoidais (equivalente à transformada de Fourier aqui).

Passo 2

Assumimos uma expansão em modos normais senoidais:
$$
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_n\cos(nt)+B_n\sin(nt)\bigr)\sin(nx). $$
Como u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(nt)+Bnsin(nt)r)sin(nx) , segue ut(x,0)=0. Restam os coeficientes Bn=0.

Passo 3

Usando u(x,0)=tfrac14 x(pi-x), projetamos em sin(nx):
An=2piintegral0^pi u(x,0)sin(nx),dx =2piintegral0^pi14 x(pi-x)sin(nx),dx =12piintegral0^pi x(pi-x)sin(nx),dx

Passo 4

Definimos In=integral0^pi x(pi-x)sin(nx),dx. Escrevemos x(pi-x)=pi x - x^2 e separamos
J=integral0^pi xsin(nx),dx e K=integral0^pi x^2sin(nx),dx.
Após integrações por partes, obtém-se
In=21-(-1)^nn^3

Passo 5

Substituindo em An:
An=12piIn=1-(-1)^npi n^3
Logo An=0 quando n é par, e para n=2k+1 ímpar temos A2k+1=tfrac2pi(2k+1)^3.

Passo 6

Com isso, a solução final se escreve como a soma dos modos ímpares:
u(x,t)=sumk=0^infty A2k+1cosl((2k+1)tr)sinl((2k+1)xr),
com A2k+1=tfrac2pi(2k+1)^3.

Resposta

u(x,t)=sumk=0^infty2pi(2k+1)^3cosl((2k+1)tr)sinl((2k+1)xr)

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