Resolva as questões abaixo, aplicando seus conhecimentos sobre múltiplos, divisores e números primos.
Problema de MDC: Um marceneiro tem três tábuas de madeira, medindo 105 \mathrm{~cm}, 135 \mathrm{~cm} e 150 cm . Ele precisa cortá-las em pedaços do maior tamanho possível, todos com o mesmo comprimento e sem deixar sobras. Qual será o comprimento de cada pedaço?

Passo 1

O enunciado diz que temos três tábuas com comprimentos de 105 cm, 135 cm e 150 cm e queremos cortá-las em pedaços iguais, de modo que o comprimento de cada pedaço seja o maior possível e não sobre nada. Isso equivale a encontrar o máximo divisor comum (MDC) entre 105, 135 e 150.

Passo 2

Para achar o MDC usando fatoração em números primos, fatoramos cada comprimento:
105 = 3 \times 5 \times 7
135 = 3^3 \times 5
150 = 2 \times 3 \times 5^2
Em seguida, identificamos os fatores primos comuns a todos: o menor expoente de 3 que aparece em todas as fatorações é 3^1, e o menor expoente de 5 é 5^1. Logo, os fatores comuns são 3 e 5.

Passo 3

O MDC é o produto dos fatores comuns com seus menores expoentes:
\gcd(105,135,150) = 3^1 \times 5^1 = 15.
Portanto, o maior comprimento possível de cada pedaço é 15 cm.

Resposta

Cada pedaço terá comprimento 15 cm.

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