Resolva as questões abaixo, aplicando seus conhecimentos sobre múltiplos, divisores e números primos.
Relação MDC e MMC: O MDC entre dois números é 15 e o MMC entre eles é 180. Sabendo que um dos números é 45 , qual é o outro número?

Passo 1

O enunciado diz que temos dois números inteiros positivos cujos divisores comuns máximos (MDC) e múltiplo comum mínimo (MMC) valem, respectivamente, 15 e 180. Ele informa também que um desses números é 45 e pede para determinar o outro. O conteúdo envolvido é a relação entre MDC e MMC de dois inteiros e como utilizá-la para encontrar um valor desconhecido.

Passo 2

A propriedade fundamental que vamos usar é: para quaisquer inteiros positivos a e b, vale
\gcd(a,b)\times \mathrm{lcm}(a,b)=a\times b.
Isso ocorre porque, na fatoração prima de a e b, o MDC corresponde ao produto dos fatores em expoentes mínimos e o MMC ao produto dos fatores em expoentes máximos, de modo que seu produto recupera a\cdot b.

Passo 3

Chamando de b o número desconhecido, temos \gcd(45,b)=15 e \mathrm{lcm}(45,b)=180. Aplicando a relação,
15\times 180 = 45 \times b.

Passo 4

Agora basta isolar b:
b = \frac{15\times 180}{45} = \frac{15}{45}\times 180 = \frac{1}{3}\times 180 = 60.
Podemos conferir pela fatoração:
45= 3^2\cdot 5,
60= 2^2\cdot 3\cdot 5,
logo \gcd(45,60)=3^1\cdot5=15 e \mathrm{lcm}(45,60)=2^2\cdot3^2\cdot5=180, conforme requer.

Resposta

60

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