Utilize a técnica de integração por partes para resolver a integral a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando a técnica de integração por partes. A questão é calcular:
Matéria envolvida: Cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes.
O que precisamos: Identificar as partes da integral que serão
e
, calcular
e
, e então aplicar a fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher quais partes da integral serão
e
. Na integração por partes, é comum deixar
ser a função que fica mais simples quando derivada.
Vamos definir:
Por quê? Porque a derivada de
é mais simples, e a integral de
também é fácil de calcular.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
.
Primeiro, derivando
:
Em seguida, integrando
para encontrar
:
Passo 4
Com
,
,
e
determinados, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, precisamos resolver a integral restante:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Observe que:
Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
Agora, calculando cada parte:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão original:
Agora, substituindo isso na equação principal:
Simplificando:
Resposta
A integral definida é:
Calculando nos limites de 0 a 1:
Simplificando:
Resposta final: