Utilize a técnica de integração por partes para resolver a integral a seguir.
integral0^1 x sin ^-1 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a técnica de integração por partes. A questão é calcular:
integral0^1 x arcsinx , dx
Matéria envolvida: Cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes.
O que precisamos: Identificar as partes da integral que serão u e dv , calcular du e v , e então aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher quais partes da integral serão u e dv . Na integração por partes, é comum deixar u ser a função que fica mais simples quando derivada.
Vamos definir:
u = arcsinx e dv = x , dx
Por quê? Porque a derivada de arcsinx é mais simples, e a integral de x , dx também é fácil de calcular.

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v .
Primeiro, derivando u :
du = ddx (arcsinx) , dx = 1raiz1 - x^2 , dx
Em seguida, integrando dv para encontrar v :
v = integral x , dx = 12x^2

Passo 4

Com u , du , v e dv determinados, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x arcsinx , dx = arcsinx cdot 12x^2 - integral 12x^2 cdot 1raiz1 - x^2 , dx

Passo 5

Simplificando a expressão:
integral x arcsinx , dx = 12x^2 arcsinx - 12 integral x^2raiz1 - x^2 , dx
Agora, precisamos resolver a integral restante:
integral x^2raiz1 - x^2 , dx

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Observe que:
x^2 = 1 - (1 - x^2)
Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
integral x^2raiz1 - x^2 , dx = integral 1 - (1 - x^2)raiz1 - x^2 , dx = integral 1raiz1 - x^2 , dx - integral raiz1 - x^2 , dx
Agora, calculando cada parte:
integral 1raiz1 - x^2 , dx = arcsinx + C
integral raiz1 - x^2 , dx = 12( x raiz1 - x^2 + arcsinx ) + C

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
integral x^2raiz1 - x^2 , dx = arcsinx - 12( x raiz1 - x^2 + arcsinx ) + C = 12arcsinx - 12x raiz1 - x^2 + C
Agora, substituindo isso na equação principal:
integral x arcsinx , dx = 12x^2 arcsinx - 12( 12arcsinx - 12x raiz1 - x^2 ) + C
Simplificando:
integral x arcsinx , dx = 12x^2 arcsinx - 14arcsinx + 14x raiz1 - x^2 + C

Resposta

A integral definida é:
integral0^1 x arcsinx , dx = [ 12x^2 arcsinx - 14arcsinx + 14x raiz1 - x^2 ]0^1
Calculando nos limites de 0 a 1:
= ( 12(1)^2 cdot pi2 - 14 cdot pi2 + 14(1) cdot 0 ) - ( 0 - 14 cdot 0 + 0 )
Simplificando:
= pi4 - pi8 = pi8
Resposta final:
integral0^1 x arcsinx , dx = pi8

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